在立體幾何教學中培養學生的類比推理能力

摘 要： 類比是根據兩個對象在某些方面的相同或相似，推出它們在其他方面的相同或相似的一種推理方法。當前的數學教學對類比推理并不是很重視。盡管類比推理僅是一種“似真”性質推理，并不具備證明的效力，但它在掌握數學概念、理解數學本質、探索解題方法等方面都不可忽視。本文對平面與立體幾何中的類比推理加以分析，并就此提出幾點教學建議。

關鍵詞： 立體幾何 培養 類比推理

開普勒說：“我珍惜類比勝于任何別的東西，它是我最可依賴的老師，它能揭示自然界的秘密，在幾何中是最不可忽視的。”科學家都這么重視，我們就更不應該忽視。

由于平面幾何和立體幾何（以下簡稱立幾）在研究對象和方法、構成圖形的基本元素方面是相同或相似的，因此在立幾教學中對兩者進行類比是研究它們性質的一種非常有效的方法，是立幾教學和學習中不可缺少的基本能力。在具體問題的解決過程中運用類比推理，既能建立知識間的相互聯系，又能發現良好的解題方法，從而很好地提高解題效率，進而培養學生的創新思維。

為了對兩者進行類比，我們可以在它們的基本元素之間建立類比關系。

一、平面幾何的線——立體幾何的線、面（位置關系）

在平面幾何中由定理“同垂直于一條直線的兩條直線平行”類比到立體幾何中有以下幾個結論。

二、平面幾何中的線段——立體幾何中的線段、面積

例1：在平面幾何中由矩形的對角線滿足L=a+b類比到空間，在長方體中，長方體的對角線滿足L=a+b+c。（圖1）

例2：（圖2）點P為斜三棱柱ABC-ABC的側棱BB上一點，PM⊥BB交AA于M，PN⊥BB交CC于N。（1）求證：CC⊥MN。（2）在任意三角形△DEF中由余弦定理：DE=DF+EF-2DE#8226;EFcos∠DEF拓展到空間，類比三角形的余弦定理，寫出斜三棱柱的三個側面面積與其中兩個側面所成的二面角之間的關系式，并予以證明。

解：（1）略。

（2）在斜三棱柱ABC-ABC中有S=S+S-2SScosα（其中α為平面CCBB與平面CCAA所組成的二面角）。證明略。

例3：在平面幾何中，由勾股定理：“設△ABC的兩邊AB，AC互相垂直，則AB+AC=BC。”拓展到空間，類比平面幾何的勾股定理，研究三棱錐的側面積與底面積之間的關系，可以得出正確的結論是：“設三棱錐A-BCD的三個側面ABC、ACD、ADB兩兩互相垂直，則。”

（答案：S+S+S=S）分析：讓學生由三角形的性質通過類比推理得到三棱錐的性質。

三、平面幾何中的面積——立體幾何中的體積

例4：如圖3，有面積關系：=#8226;，則圖4有體積關系。

（答案：=#8226;#8226;）

類比推理是一種非邏輯的思維形式，一方面它能導致人們作出新的判斷和預見，另一方面這種新的判斷和預見也可能是錯誤的。

如：在平面幾何中有“如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別垂直，那么這兩個角互補或相等”。類比到立體幾何中的二面角，有如下結論：如果一個二面角的兩個半平面分別垂直于另一個二面角的兩個半平面，則這兩個二面角相等或互補。上述結論顯然是錯誤的。

如圖5，在正方體ABCD-ABCD中，二面角D-BB-C與二面角A-AD-C的兩個半平面分別垂直，但這兩個二面角既不相等又不互補。由此可見，對于類比得到的結論不論其正確與否，都要辯證地看待，既不盲從，又不一概否定。這樣才能使學生的類比推理能力穩步地得到培養和提高。

參考文獻：

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