超幾何分布在審計總體稀缺項目估計中的應用

【摘要】 稀缺項目(如違法發票)指的是在審計總體中占很小比例的項目。如果抽取的樣本含稀缺項目數為零，傳統方法無法估計其在審計總體中的數目及其金額。超幾何分布法能很好地解決這個問題。

【關鍵詞】 抽樣審計;超幾何分布;審計總體;稀缺項目;估計

一、引言

在審計總體由合法發票和違法發票(稀缺項目，后同)構成的情況下，為節約審計時間和審計成本，審計員通常根據隨機抽取的發票樣本來估計審計總體違法發票總數目(M)及其金額(在此稱為參數)。如果估計的違法發票數目或金額在可允許范圍內，就可以發表無保留意見的審計報告;反之，發表其他意見的審計報告。由于違法發票在審計總體中比率較小，這樣抽取的發票樣本可能一張違法發票也沒有，這就給參數估計帶來了很大的困難。

美國數理統計學家Cochran(1977)在《抽樣技術》一書給出的樣本比率估計法適合于抽取的樣本包括違法發票數目與零有一定差異的情況。Liu，Batcher和Rotz(2001)提出的超幾何分布估計法能比較好地解決即使在發票樣本中違法發票數目為零的情況下審計總體違法發票數目及其金額的估計問題。

為敘述方便，假設違法發票和合法發票在審計總體中隨機均勻分布。用xi表示第i張發票的賬面額(已知)，yi為其違法額(未知)。Roberts(1978)給出了第i張發票賬面額與違法額的關系式

二、概率分布模型

(一)簡單隨機抽樣的概率分布模型

假設審計總體共有發票N張，其中M張是違法發票(未知)，(N-M) 張是合法發票。從中抽取容量為n的樣本，經過識別發現其中有違法發票a張。在M已知的情況下，違法發票數目服從超幾何分布，其概率為

(二)分層隨機抽樣的概率分布模型

為了在分層隨機抽樣下使用上述概率模型，需要確定M=M1+M2的概率分布，其中M1和M2分別表示審計總體第一、第二層違法發票數目。用a1和 a2分別表示從第一、第二層抽取的容量分別為n1和n2的樣本中違法發票數目。由于樣本是從各層獨立抽取的，所以違法發票總數M=M1+M2在第一層樣本違法發票數a1和第二層樣本違法發票數a2既定下的條件概率為

三、估計量

(一)Cochran(1977)估計量

用公式(4)、(5)、(6)、(7)、(8)估計簡單或分層隨機下審計總體違法發票金額。

四、模擬研究的例子

下面是LanLiu，Mary Batcher和Wendy Rotz(2001)在“Application of hypergeometric distribution in a special Case of rare events”中的一個審計總體Ω的例子。Ω的情況見表1。

五、結論

在審計總體存在稀少項目的情況下，從中抽取的簡單或分層隨機樣本包含的稀少項目的數目可能很少甚至為零。在這種情況下，傳統的估計方法無法為審計總體稀少項目的估計提供適當的估計值。上面所描述的超幾何分布法是一個較為理想的解決這個問題的方法，尤其是需要保守的估計值的時候。●

【參考文獻】

[1] Bain，L.J and Engelhardt，M，1991，Introduction to Probability and Mathematical statistics.Boston:Pws-KENT Publishing Company.

[2] Cochran， W. G.，1977，Sampling Technique， New York: John Wiley and Sons.

[3] Roberts，D.M.，1978，StatisticalAuditing， New York:American Institute of Certified Public Accountants，INC.

[4] Wilburn，A.J.，1984，Practical Statistical Sampling for Auditors，New York and Basel:Marcel Deffer，Inc.