對數學表象與問題解決的探究

摘要： 本文探究了數學思維的心理元素之一——數學表象，從數學表象的特征——形象性、主觀靈活性、抽象概括性和創造性等四個方面，對于不同問題，從數學表象的特征出發，提出不同的解題方式，最后提出一些解題策略。

關鍵詞： 數學物象 數學表象 問題解決

一、 對幾個概念的闡釋

1.表象

在心理文獻中表象（presentation）又叫意象（image）或心象（mental image）。而當強調事物形象在心理活動中的再現時，又叫做再現表象或表征（representation）。表象經常在某種程度上是事物的概括的反映、概括的映像。表象是從具體感知到抽象思維的過渡和橋梁。

2.數學物象、數學表象、數學形象思維

數學表象是人腦對數學物象進行形式結構的特征概括后得到的觀念性形象，它是通過邏輯思維的滲透和數學語言做物質外殼，運用典型化的概括了的理想化形象，使主體能夠對數學物象進行自由的比較、分解、選擇、整合加工改造。加工器中以數學表象信息的加工為主流的進行心理運算的思維為數學形象思維。依照數學表象的特征主要分為形象性、主觀靈活性、抽象概括性和創造性。

3.數學問題解決

數學問題解決是指學生在新的情景狀態下，運用所掌握的數學知識對面臨的問題采用新的策略和方法尋求問題答案的一種心理活動過程。

二、數學表象的形象性

數學表象是人腦對數學物象的反映，是主體在數學活動中的心象，它是一種理想化了的形象，因而具有形象性的特征。數學表象不像具有形象那樣明晰，它是模糊的。數學表象的形象性表現出多樣，不管是數學概念、數學命題還是數學推理論證，都不但具有宏觀整體（綜合）形象，還存在許多從不同的角度觀察所產生的不同形象。

【例１】以橢圓 + =1內點M（1，1）為中點弦所在直線L的方程為。

說明：（1）已知點在對稱軸上時，直線可直接寫出。（2）否則可求斜率，斜率可直接求或用“點差法”間接給出。

解法一：弦所在的直線斜率應存在，設為k

L：y-1=k(x-1)。代入橢圓得，x +［kx+(1-k)］ 4=16，∴(1+4k )x +8k(1-k)x+4(1-k) -16=0；X ＝ =1，4k -4k=1+4k ，k=- ，所以L方程為：即y-1=- (x-1)即x+4y-5=0

解法二：設弦為AB，A(x ，y )，B(x ，y )則 =1， =1，且x+4y=16，x+4y=16，所以(x +x )(x -x )+4(y +y )(y -y )=0， =-，k =- ，下略。

簡評：解法一中，有時兩邊消去K的兩次項也許消去K不存在的對應解。解法二對于圓錐曲線數點共線時比較適宜。

三、數學表象的主觀靈活性

數學表象源于對數學物象的知覺，因而它是以個人以往的主觀經驗為基礎的。除了那些可以物化的數學語言、圖形或實驗模型的表象外，它是私人的、易變的、模糊的，是不容易進行交流的。數學表象作為主體內在的“圖畫”，是一個高度發達的動力系統，它能迅速靈活地組合轉化。

【例２】在四棱錐的四個側面中，直角三角形最多可有幾個？（1992年全國高考題）

解：如圖，作出正方體ABCD- A B C D ，圖中四棱錐D -ABCD的四個側面均為直角三角形，故結果為4個。借助正方體圖形，使得本題的解答直觀而快捷。

【例3】已知a＞b＞c＞0，函數f(x)=log (x+1)，求 ， ， 。

分析：若注意到 是表示曲線上一點與原點所在直線的斜率 ，可利用對數函數的圖像，作出y=log (x+1)的圖象，如右圖，顯然 ＜ ＜ 。

四、數學表象的抽象概括性

數學表象是數學物象在人腦中的反映，因而數的抽象概括性決定了數學表象必然具有抽象概括性的特征，數學表象還源于視知覺，存在于從具體的記憶表象抽象到創造表象的層次結構，就意味著承認數學表象具有抽象概括的功能。

在高中數學中常見有如求方程“log (x+1)-x =0”的解。

可以分解為兩個函數f(x)=log (x+1)和g(x)=x ，然后，作出圖像，兩個函數結合起來，觀察圖形，顯然就能求出x的解。

五、數學表象的創造性

數學表象建立在先前知覺的基礎之上，是以往大量形象信息在大腦中的儲存，它具有靈活易變的特點，能為主體對其進行自由的比較、選擇、分解、整合、加工，從而將人們從死板的真實中解放出來，引發新的結構、新的概念和新的關系。

【例4】已知x，y，z∈R ，x+y+z=1求證： + + ≤3 。

分析：由方差公式及非負數模型特性，有

S = ［（（3x+2)+(3y+2)+(3z+2))-( + + ) ］

= ［9- ( + + ) ］≥0

所以， + + ≤3

【例5】人教版全日制普通高級中學教科書（必修）2006年11月第2版P12例2。

已知a，b，m都是正數，并且a＜b，求證： ＞ 。

證明：設 =M， =N則M+N=1，又N= ≤ (b＞a＞0，m＞0)

∴M=(M+N)-N≥1- = ，∴ ＞ 。

教材中是利用差比法，而通過比較，在人對數學的感知上，對式子重新組合，利用不等式的基本性質，重新建立新的關系。從而問題解決。

數學問題解決的方法很多，有化歸法、類比推理、歸納法等等，更重要的是從學生的心理著手，運用人對事物的認識，根據問題在人的大腦中感知的表象，利用一題多解，建立數學模型，靈活、概括、創造性地解決問題。

參考文獻：

［1］孫杰遠.現代數學教育學［M］.桂林：廣西師范大學出版社，2004.

［2］何小亞.數學學與教心理學［M］.廣州：華南理工大學大學出版社，2004.7.

［3］梁開華，郝曉剛.高中數學綜合性問題［M］.上海：上海大學出版社，2002.

［4］人民教育出版社中學數學室.人教版全日制普通高級中學教科書（必修）數學第二冊(上)［M］.2006年11月第2版.

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。”