“把水壺直接放上去！”

匈牙利著名數(shù)學(xué)家路莎·彼得在《無窮的玩藝》一書中有一段風(fēng)趣而精彩的描述：從陳舊的實(shí)用觀點(diǎn)上來看，以下的一個(gè)比擬也許是十分可笑的，但這一比擬在數(shù)學(xué)家中卻是廣為流傳的：“現(xiàn)有煤氣灶、水龍頭、水壺和火柴擺在你面前，當(dāng)你要燒水時(shí)，你應(yīng)當(dāng)怎樣去做呢？往水壺里注滿水，點(diǎn)燃煤氣，然后把水壺放在煤氣灶上。”“你對(duì)問題的回答是正確的，現(xiàn)把所說的問題稍作修改，即假設(shè)水壺中已經(jīng)盛滿了水，而所說問題中的其他情況都不變，試問，此時(shí)你應(yīng)當(dāng)怎樣去做？”此時(shí)被問者一定會(huì)大聲而頗有把握地回答說：“點(diǎn)燃煤氣，再把水壺放上去。”他確信這樣的回答是正確的。但是更完善的回答應(yīng)該是這樣：“只有物理學(xué)家才會(huì)按照剛才的辦法去做，而數(shù)學(xué)家們卻會(huì)回答：只須把水壺中的水倒掉，問題就化歸為前面所說的問題了?！?/p>

這則幽默而又有些夸張的比擬，形象地概括出了數(shù)學(xué)與其他學(xué)科不同的思維方式，即將面臨的問題化歸為已解決的問題。這種化歸的思想幾乎滲透整個(gè)數(shù)學(xué)的教學(xué)過程。的確，這種“把水壺中的水倒掉，問題就化歸為前面所說的問題了”的化歸思想，是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)必須而又科學(xué)的思想方法之一。在這里我不想對(duì)化歸的思想方法多加發(fā)揮，而是就“把水壺直接放上去”的思維，在培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力方面談一談自己的看法。

通過對(duì)上面解題過程的反思，將結(jié)論推廣到一般情況，有利于同類問題的解決。解題后的反思具有查缺補(bǔ)漏、探索新的解題方法、提高解題能力、創(chuàng)新解題方法等積極的作用。心理研究表明：當(dāng)我們分析的思路一旦打通，產(chǎn)生了第一次興奮，感受到解題帶給我們快樂，但此時(shí)卻無暇顧及細(xì)節(jié)，匆匆忙難免就有許多的漏洞；當(dāng)我們進(jìn)一步更周密地思考時(shí)，常常會(huì)激發(fā)出一個(gè)個(gè)更機(jī)智的念頭，產(chǎn)生了第二次興奮，這時(shí)心理感覺不僅是快樂，更充滿美感，加深了對(duì)數(shù)學(xué)的領(lǐng)悟。在教學(xué)過程中，我要求學(xué)生在解完一個(gè)題目后，都試一試“把水壺直接放上去！”的反思，并作了些提示，以幫助他們尋找更好的方法。

1.能否刪除多余的步驟，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美；

2.能否用更一般的原理，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的和諧美；

3.能否用更特殊的技巧，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的奇異美；

4.能否將這種解法用在別的地方，加以推廣。

學(xué)生在反思練習(xí)中，雖不能完美無缺，但仍有許多創(chuàng)造的火花。事實(shí)上，上述的兩個(gè)例子，都是在老師的啟發(fā)下，學(xué)生自己思考的結(jié)果。在教學(xué)的過程中，還有許多，選摘如下：

1. 求證：二次函數(shù)y=x2-（k+1）x+k與x軸必有交點(diǎn)；

常規(guī)解法： △=(k+1)2-4k=(k-1)2≥0。

反思后解法：y=(x-1)(x-k)，故與x軸交點(diǎn)為(1，0)，(k，0)。

（不僅證出有交點(diǎn)，還把交點(diǎn)坐標(biāo)都求出來了）

2. 在領(lǐng)悟了例2后，在課外，學(xué)生討論出如下結(jié)果:拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，則

當(dāng)ac=-1時(shí)，△ABC為直角三角形；

當(dāng)b=0時(shí)，△ABC為等腰三角形；

當(dāng) b=0且△=4時(shí)，△ABC為等邊三角形。

這已差不多已是研究性學(xué)習(xí)的模式了！雖然還有不少漏洞，但是作為老師，心里仍非常高興。

3.在學(xué)習(xí)等比定理時(shí)，曾利用了假設(shè)比值k，學(xué)生由此進(jìn)行了推廣，在學(xué)習(xí)直角三角形相似的判立中，利用比值k，結(jié)合勾股定理計(jì)算，給出了定理的另一種更明了的證法。雖然早有定論，但這第一感覺仍令人興奮。我們無意去搞“題海戰(zhàn)術(shù)”，但我們可以通過解一定量的數(shù)學(xué)題目，去領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的美，去探求解題的科學(xué)方法。試想如果我們的數(shù)學(xué)教學(xué)都是講解標(biāo)準(zhǔn)化的答案，那么我們的學(xué)生學(xué)到的是怎樣的知識(shí)呢?他們的能力又如何?他們能對(duì)數(shù)學(xué)有濃厚的興趣嗎?他們心目中的數(shù)學(xué)是什么樣的?

愿更多的學(xué)生在“把水壺直接放上去”的思考中，提高創(chuàng)新的能力，領(lǐng)略數(shù)學(xué)的美，感受數(shù)學(xué)給我們帶來的樂趣。

參考文獻(xiàn)：

[1]中華人民共和國(guó)教育部.全日制義務(wù)教育教學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)[M].北京：北京師范大學(xué)出版社.

[2]任景業(yè)，李淑華.對(duì)義務(wù)教育階段國(guó)家數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的幾點(diǎn)認(rèn)識(shí)[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考.

[3]胡興余.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)思想與方法[M].上海社會(huì)科學(xué)院出版社.

（浙江省金華市第十四中學(xué)）

“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文”