外匯期權定價：ＶＧ模型與ＢＳ模型誰更適用

摘要：本文運用方差GAMMA模型對外匯收益分布特征進行對比擬合分析，并結合幾種被選匯率數據對模型參數進行估計。KS檢驗和卡方擬合優度檢驗的實證結果表明V.G.模型比Black-Schloes模型有更高的擬合度，說明了V.G.模型比Black-Schloes模型更好地模擬匯率收益動態運動過程。

關鍵詞：V.G.模型；外匯；收益分布

Abstract：The article examines the characteristics of foreign exchange returns distribution，coupling with kinds of foreign exchange datas， figures out parameters of model by using variance gamma model.The empirically results ofKolmogorov-Smirnov test and goodness of fit chi-square test shows that V.G. Model，comparing with Black-Schloes Model tset， provides larger degree of goodness-of-fit and better models the dynamics of foreign-exchange.

Key Word：V.G.model，foreign exchange，returnsdistribution

中圖分類號：F830文獻標識碼：A文章編號：1674-2265（2009）03-0024-02

一、引言

在外匯期權定價方面，無論是利用Black-Schloes模型，還是利用例如Mentle Carlo數值方法，都建立在基礎資產（本文為匯率）的價格運動過程服從對數正態分布的假設條件之上。然而，市場實證分析的結論是基于對數正態分布的期權定價會產生定價偏差，這就是著名的隱含波動率微笑和波動率期限結構。按照Black-Schloes模型，波動率應為常量，而隱含波動率微笑則表明：對于深價外或價內期權，波動率較高，從而低估價內、價外期權；對于平價期權，波動率較低，從而高估了平價期權。在上世紀80年代中期，當絕對多數交易員都認為匯率服從對數正態分布時，一些交易員則敏銳發現波動率微笑現象，結果這些交易員獲得了豐厚的額外收益，但是到80年代末額外收益則很難獲得，說明市場基本都承認匯率不服從對數正態分布的假設。根據波動率微笑，相對于對數正態分布，基礎資產的價格分布應該呈現更大的峰度和肥尾現象（John Hull，2006）。

針對傳統觀點即外匯收益服從對數正態分布的不足，本文首次提出對稱的V.G.模型 來反映外匯收益分布的高峰厚尾現象，并且本文隨后的數據模擬和實證分析的結果證明了V.G.模型比對數正態模型更能反映外匯收益的特征。

二、模型

V.G.過程的實證經驗屬性有:（1）資產日收益率V.G.分布相對于正態分布呈現厚尾，但對長周期收益率分布趨于正態；（2）有限矩；（3）V.G.過程為連續時間、穩定增量、無限可分的過程，V.G.分布為獨立同分布。屬性（1）基本與實證的對數匯率分布相符，屬性（2）和（3）則說明V.G.過程與布朗運動過程一樣有很好的性質，便于期權定價。V.G.模型由布朗運動和服從Gamma分布的隨機時變構成。令：

其中：隨機時變 服從均值為1、方差為v的gamma分布， 為波動率，為擴散系數，W是標準布朗運動。

從V.G.過程的Lévy測度

可知：V.G.過程是純跳躍過程，且在任何不重疊時間間隔內，具有無限的到達率，即無限次跳躍，其中絕大部分跳躍的強度小，這一方面反映了匯率有時產生劇烈波動，大部分時間波動幅度小的現象；另一方面也說明V.G.過程沒有鞅部分，從而不能用期權定價非常有用的工具—鞅原理來處理V.G.過程和描述匯率運動過程。更進一步可以注意到v控制著分布函數尾部概率和峰度，因為增加v的值，就會降低Lévy測度的衰變率，從而提高了大幅度跳躍的可能性，進而增大了分布函數尾部概率和峰度。這點也可以從V.G.過程的前四階矩得知。

令表示第t交易日的匯率，令，則有：

其中：m為預期收益率，w在black-Sscholes模型下為0，但在V.G.模型下 。

的密度函數

其中 為gamma函數， 為修正的第二類bessel函數。

三、數據及實證結果

（一）數據來源

本文選取了從2006年9月5日到2008年8月8日間（共500個交易日）交易最為活躍的歐元兌美元、英鎊兌美元、美元兌加元、美元兌瑞士法郎和美元兌日元匯率數據，數據均來自TV Trader交易軟件。所有匯率數據均為收盤價，且為經過調整后的中間價。

（二）參數估計①

本文利用密度函數（3），運用Matlab軟件，采用最大似然估計法來進行參數估計。參數估計時為了避免不恰當的參數初始值賦值引起估計的參數值遠偏離其真實值，本文采用最小二乘法來對參數初始值賦值（參數估計見表1）。

（三）擬合優度檢驗

本文通過KS距離檢驗和卡方擬合優度檢驗來測度Black-Scholes模型和V.G.模型的擬合優劣程度。（檢驗結果見表2）。

KS距離檢驗即Kolmogorov-Smirnov檢驗是測試檢驗某組數據是否來自某一分布，原理是若原假設H0成立，則KS距離較小。KS距離定義為考慮變量所有可能值的實際分布和理論分布之間距離絕對值最大值，即其中是實際累積分布函數，是原假設的理論分布函數。

擬合優度檢驗是對樣本的頻數分布所來自的總體分布是否服從某種理論分布或某種假設分布所作的假設檢驗，原理是判斷樣本觀察頻數（Observed frequency）與理論（期望）頻數（Expected frequency ）之差是否由抽樣誤差所引起，統計量

從表格2可以看出，KS距離檢驗和卡方擬合優度檢驗都顯示V.G.模型比Black-Scholes模型有更好的擬合優度。

四、結論

本文先介紹了用于模擬匯率動態運動過程的V.G.模型，然后以當前交易量最為活躍的幾種匯率數據為基礎，通過KS距離檢驗和卡方擬合優度檢驗對比檢測Black-Scholes模型和V.G.模型的擬合優劣程度。實證結果顯示V.G.模型比Black-Scholes模型有更好的擬合優度，即V.G.模型比Black-Scholes模型能更好地模擬匯率運動過程，而匯率運動過程是外匯期權定價及其風險管理的基礎，所以V.G.模型對Black-Scholes模型的改進對外匯期權定價及外匯期權風險管理有很大幫助。

注：

①本文在用Matlab軟件進行參數估計和模型擬合優度檢驗時部分參考了Gerald Recktenwald的Matlab代碼。

參考文獻：

[1]John C.Hull.Options，“Futures and Other Derivatives(sixth edition)”[M](2006). PrenticeHall.pp.331-332.

[2]Dilip B.Madan and Eugene Seneta. “The Variance Gamma(V.G.) Model for Share Market Returns[J]”.The Journal of Business， Vol.63，N0.4， Oct.，1990，pp.511-524.

（特約編輯 齊稚平）