基于貝葉斯估計和極值理論的股票市場ＶａＲ實證研究

摘要：金融風險的度量是金融風險管理領域的核心。VaR（Value at Risk）方法已被廣泛采用并成為金融行業風險管理的標準。本文對中國股票市場的收益率進行了統計分析，使用基于極值理論和貝葉斯估計的VaR方法對上證指數和深成指數進行實證分析，結果表明，用貝葉斯估計比經典統計方法估計得出的VaR值能夠更準確地反映市場的風險狀況。

關鍵詞：風險值（VaR）;極值理論;貝葉斯估計

金融市場自產生以來，金融風險以其不可預見性及其導致的巨額經濟損失越來越受到人們的關注。隨著我國金融改革的不斷深人，市場風險越來越成為現代金融機構管理和監管的重點。VaR已經成為金融界廣泛應用的風險測度方法。VaR即在一定的概率水平下，資產組合在未來特定一段時間內的最大可能損失。VaR將不同的市場風險因子集成為一個數，能準確測量由不同風險來源及其相互作用而產生的潛在損失，適應金融市場發展的動態性、復雜性和整合性的趨勢。但VaR方法亦存在一些不足，本文使用基于貝葉斯估計的POT模型來估計我國股票市場的VaR。

一、基于貝葉斯估計和POT的VaR模型

VaR的概念簡單，但度量卻是具有挑戰性的統計問題，不同計算方法得出的結果有時會相差很大。VaR三種基本的計算方法是參數法、歷史模擬法和蒙特卡洛模擬法，其共同的特點是很少專注于考慮資產收益率概率分布的尾部，而正是那些發生概率極小的極端事件給金融機構帶來了災難性的后果。極值理論是測量極端市場條件下風險損失的一種方法，可以準確地描述分布尾部的分位數。POT模型是極值理論中最有用的模型之一，它對所有超過某一充分大閾值的樣本數據進行建模，有效地使用有限的極端觀測值。基于經典統計學的VaR估計方法是一種完全基于歷史數據的方法，并假定變量間過去的關系在未來保持不變，顯然，往往與事實不符。因此可將貝葉斯估計和極值理論相結合，研究資產收益率的尾部行為來計算VaR。

POT模型稱為越檻高峰模型（Peak Over Threshold），它是對樣本中超過某一充分大的閾值的所有觀測值進行建模。假定 是獨立同分布的隨機變量，其分布函數記為F(y)，u為一充分大的閾值，樣本超額數y的分布函數為Fu(y)，則有 ，只對尾部x>u是有效的。

極值理論表明，對充分大的閾值u，超過u的超額數的分布函數可用廣義Pareto分布近似。廣義Pareto分布的分布函數為:，當 時， ，當 時， 。于是可以基于超額數的廣義帕雷托型擬合分布的尾部，并估計其分位數，若x>u，則 。此時目標是構造F(x)的一個尾部估計。為此需要：①找到充分大的閾值u；②估計 的參數 ；③估計F(u)。

用貝葉斯方法估計參數時，設 的先驗分布分別為 和 ，根據貝葉斯法則 的后驗分布為: ，要計算的后驗量可以寫成某函數f(y)關于 的期望， 。對于較簡單的后驗分布，我們可以直接計算上式或利用正態近似、數值積分、靜態Monte Carlo等近似計算方法。但當后驗分布很復雜時，這些方法難以實施，可以用MCMC方法計算，從而得出兩參數的貝葉斯估計。

對于F(u)的估計，通常是采用歷史模擬法，即用 作為F(u)的經驗估計，得到F(x)的尾部估計:，注意，這個估計量只對尾部x>u是有效的。若給定概率 ，反解上式能計算得到q分位數的估計：

。（1）

二、中國股票市場及其收益率統計分析

1.數據說明

股市指數反應了股市的走勢與變化，我們選取分別反映上證指數和深成指數分析我國股市的發展情況。上證綜合指數的取值區間為1990.12.19—2009.2.20，深證成份指數的取值區間是1991.4.3—2009.2.20。圖1和2分別給出了上證綜合指數和深證成份指數收盤價的走勢圖，綜合兩指數的走勢圖可以看到中國股市總體上大致經歷了三次大的漲跌，為此我們分階段對兩指數收益率進行統計分析，具體的劃分是：1990.12-1996.1 是第一階段，為起步階段；1996.1-2005.7 是第二階段，為探索和初步發展階段，2005.7 至今是第三階段，為發展的新階段。這樣劃分符合投資者的心理感受，也與政府干預股市的變化密切相聯。

圖1 上證綜合指數走勢圖圖2 深圳成份指數走勢圖

2.實證分析結論

由于人們關心的是金融資產的價格變動或回報或收益率。對數收益率能夠克服簡單收益率的缺點，所以在金融經濟的分析中常用對數收益率。定義對數收益率為:。(見表1)

表1 上海和深圳股市收益率整體和分段數據的基本統計特征

通過對整個樣本和三個階段收益率的基本統計特征分析、正態性分析、自相關性分析、波動的集聚性分析、股票市場間的相關性分析，得到以下結論：

(1)不管從偏度、峰度，還是從Jarqe-Bera檢驗來看，上證指數和深成指數均不服從正態分布，各個時段亦如此。從波動性來看，對于兩個股票市場收益率的波動性在第二階段最小，隨著時間的推移，尖峰厚尾性明顯減小。由序列的自相關性分析可知，在整個樣本段和第一階段的大部分時間上，兩指數序列均存在一定的自相關性，但自相關性很小，第二和第三階段，在某些滯后期零假設不能被拒絕。各序列滯后三天仍存在明顯的正的相關性反應了我國股票市場中股票當天的交易信息會在市場上停留三天。

(2)對滬深兩市的相關性分析中發現，總體上我國滬深兩市是比較獨立的，特別是在1996. 1以前，兩個市場處于較強的割據狀況；隨著時間的推移， 在1996.1—2005.7間，短期兩市不存在相互影響，但長期上兩市存在一定的相互影響，而且滬市對深市的影響較深市對滬市的影響要大；在2005.7之后相反。通過對滬深兩市是否存在長期均衡關系的協整發現，在整個時間段內上證指數與深成指數的波動存在長期穩定關系；而在分段樣本中，只有第一階段兩指數存在協整關系，其它兩階段不存在協整關系。

三、股票市場VaR實證分析

1.數據說明

因為在我國股市發展的起步階段，市場容量小，制度不健全，市場不規范，價格波動劇烈，將這一時期的數據加入到分析樣本中會造成實際風險特征的扭曲，因此在風險分析中我們不考慮這一時期。我們選取最近的3000個收益率數據。

上證指數的基本統計特征：均值為0.000363、標準差為0.018043，偏度為-0.262619；峰度為7.7621。深成指數的基本統計特征：均值為0.000403、標準差為0.019549，偏度為-0.274977；峰度為6.85438。所以兩指數分布都是有偏的、有峰的。它們的J-B統計量的相伴概率為0，拒絕分布為正態分布的原假設。在用POT模型分析時我們對負的對數收益率進行分析，即 。

2.閾值的選取

閾值的選取通常結合QQ圖、平均超額函數圖及Hill來確定。由兩指數的正態QQ圖及指數QQ圖可以看出，兩指數都是厚尾的，相應的GPD模型的形狀參數 是大于零的。將平均超額函數法和Hill圖法相結合可以初步對閾值估計，再根據Cramer-von統計量W2和Anderson-Darling統計量A2我們可以精確的得到上證指數的閾值為0.020965，超閾值的個數為247，超額數的概率為8.2%，深成指數的閾值為0.020418，超閾值的個數為261，超額數的概率為8.7%。由此我們得出POT模型只能估計概率小于8％時的VaR值。

3.GDP分布模型的參數估計

WinBUGS是一種建立和分析貝葉斯概率模型的程序模塊。基于對話框和菜單按鈕，給用戶提供了一個用馬爾可夫鏈蒙特卡羅方法分析模型的界面。我們利用這個軟件對POT模型進行仿真。首先從條件后驗分布中抽取樣本，然后用得到的樣本對模型的參數進行估計。為了方便，我們選取平坦分布 作為它的無信息先驗分布，在實際應用中，參數的先驗分布可以根據實際經驗確定。Winbugs運行得到模型參數的估計值如表2，為了比較亦給出了基于極大似然估計的參數估計值。

表2 POT模型Bayes估計法和極大似然參數估計法的結果

4.VaR的計算

將參數代入式（1），我們分別取置信區間為95%、97.5%、99%、99.5%和99.9%，可以求得結果如表3。

表3 不同置信區間下的VaR

表3可以看出，基于貝葉斯估計下的上證指數和深成指數在各置信水平下的VaR 值均大于基于極大似然估計下各置信水平下的VaR值。這是由于Bayes方法把分布參數看作是隨機變量，這實際上是在資產的收益率分布中增加了不確定性。由上述計算結果還可看出，各種方法得到的VaR中，深成指數都在各置信區間都要大于上證指數，說明深成指數所包含的股票的波動性要大于上證指數，也就是具有更大的市場風險。

四、結論

由于金融市場瞬息萬變，離現在越久遠的數據與當前市場情況的相關性越低，基于經典統計學的對未來的損失完全基于歷史數據的方法，顯然無法保證VaR模型的精度和有效性。由于金融市場中影響資產收益率的因素時刻都在變化，分布的參數也是不斷變化的，因此將參數看作隨機變量是合理的。將貝葉斯估計與極值理論相結合，研究資產收益率的尾部行為， 將歷史數據與人們的經驗預期結合起來，使得投資者能夠根據觀測數據結合自己所掌握的經驗信息對風險值VaR模型進行調整，如此獲得的VaR能夠更準確地反映市場的風險狀況，并據此做出正確的投資決策。

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