淺析新課標下函數圖像的教學

一、函數圖像的定義與作用

(一)函數圖像的定義

對于一個函數y=f(x)，如果把其中的自變量x視為平面直角坐標系上的某一點的橫坐標，把對應的唯一的函數值y視為此點的縱坐標，那么，這個函數y=f(x)，無論x取何值，都同時確定了一個點，由于x的取值變化，y的值也不同，表示的點也就就不一樣。由這些點在平面上組成的圖形就是此函數的圖像，簡稱圖像。

(二)函數圖像的作用

函數圖像的作用即能從圖象的左右、上下分布范圍、變化趨勢、對稱性等方面研究函數的定義域、值域、最值、單調性、奇偶性、周期性。

二、函數圖像與高考

新高考中考查函數的圖像一般以幾類基本初等函數的圖像為基礎。近年來與函數圖像有關的試題，一般考查:(1)能夠從圖中(或列表中)讀懂各種信息，解決有關的實際問題;(2)會進行平移變換、伸縮變換和對稱變換，進而研究函數的有關性質;(3)會利用函數圖像研究函數的周期性和函數值的變化趨勢。由此看到，函數圖像是研究函數性質、解決函數相關問題的重要工具。一方面，通過解決函數圖像問題既能夠考查函數性質的掌握情況，又可以培養運用數形結合思想來解題的能力，可以說是一箭雙雕，說函數圖像是高考命題的熱點不過分。

三、函數圖像的教學剖析

函數圖像是學習函數的一個重要環節，對于函數圖像這個知識點我們應該怎么樣處理呢?下面從作圖、識圖與用圖這3個方面進行剖析。

(一)作圖

從作圖方面來看，以解析式表示的函數作圖像的方法有兩種，即列表描點法和圖象變換法。利用描點作圖法作函數圖像的步驟有:①確定函數的定義域;②化簡函數的解析式(化簡過程必須是等價的);③討論函數的性質即單調性、奇偶性、周期性、最值(甚至變化趨勢);④描點連線，畫出函數的圖像。運用描點法作圖應避免描點前的盲目性，還要避免盲目地連點成線，應該把表列在關鍵處，把線連在恰當處，這就要求對所要畫的函數圖像的存在范圍、大致特征、變化趨勢等作一個大概的研究，而這個研究要借助于函數性質、方程、不等式等理論和手段，是教學的一個難點。用圖像變換法作函數圖像則要確定以哪一種函數的圖像為基礎進行變換，以及確定怎樣的變換，這是作圖的關鍵。在教學中，主要掌握以下幾種變換:

①平移變換

Ⅰ.水平平移:函數y=f(x+h)的圖像可以把函數y=f(x)的圖像沿x軸方向向左(h>0)或向右(h<0)平移h個單位即可得到;

Ⅱ.豎直平移:函數y=f(x)+h的圖像可以把函數y=f(x)的圖像沿x軸方向向上(h>0)或向下(h<0)平移h個單位即可得到;

②對稱變換

Ⅰ.函數y=f(-x)的圖像可以將函數y=f(x)的圖像關于y軸對稱即可得到;

Ⅱ.函數y=-f(x)的圖像可以將函數y=f(x)的圖像關于x軸對稱即可得到;

Ⅲ.函數y=-f(-x)的圖像可以將函數y=f(x)的圖像關于原點對稱即可得到;

③翻折變換

Ⅰ.函數y=f(x)的圖像可以將函數y=f(x)的圖像的x軸下方部分沿x軸翻折到x軸上方，去掉原x軸下方部分，并保留y=f(x)的x軸上方部分即可得到:

Ⅱ.函數y=f(x)的圖像可以將函數y=f(x)的圖像右邊沿y軸翻折到y軸左邊替代原y軸左邊部分并保留y=f(x)在y軸右邊部分即可得到:

④伸縮變換

Ⅰ.函數y=af(x)(a>0)的圖像可以將函數y=f(x)的圖像中的每一點橫坐標不變縱坐標伸長(a>1)或壓縮(0

另外常見的函數數字特征對我們畫圖也有一定的幫助，主要有:函數奇偶性、函數周期性、對稱性。

(二)識圖

主要考查函數圖像的分布范圍、變化趨勢、對稱性、周期性等，一般難度不大，如2009年廣東卷理科第8題選擇題。在平時練習中應有所體現。

(三)用圖

考查用圖即主要考查數形結合思想方法，難度大，綜合性強，一般體現在解答題。如2008年廣東卷第18題。教學上應重點訓練。

四、對函數圖像教學的體會

2009年《廣東考試說明》對函數圖像的要求是這樣的:(1)會運用函數圖像理解和研究函數的性質;(2)理解數形結合的思想。從這兩點來看，數形結合思想在高考中占有非常重要的地位，其“數”與“形”結合，相互滲透，把代數式的精確刻畫與幾何圖形的直觀描述相結合，使代數問題、幾何問題相互轉化，使抽象思維和形象思維有機結合。應用數形結合思想，就是充分考查數學問題的條件和結論之間的內在聯系，既分析其代數意義，又揭示其幾何意義，將數量關系和空間形式巧妙結合，來尋找解題思路，使問題得到解決。運用這一數學思想，要熟練掌握一些概念和運算的幾何意義及常見曲線的代數特征。因此，在平時的教學中，一定要重視這類題型的訓練，切勿掉以輕心。

一句話，把握好《考試說明》，有的放矢地進行教學，是我們高考取勝的關鍵所在。

參考文獻:

唐加俊.活用數形結合解題[J].中學數學教學參考.2005(9)

作者單位:廣東省封開縣江口中學