求解特殊積分的若干方法

摘 要:積分學是數(shù)學分析的重要組成部分。熟練掌握積分學的相關內(nèi)容是非常有必要的。主要論述無窮積分和瑕積分這些特殊積分的計算。由于無窮積分和瑕積分在知識結(jié)構(gòu)上不是相互依存的關系，而是并列存在的關系，因此在討論無窮積分和瑕積分的計算問題時，將無窮積分的相關內(nèi)容歸為一項，將瑕積分的相關內(nèi)容歸為一項。指出無窮積分和瑕積分是并列存在的，但它們之間也有一定的聯(lián)系。論述了求解特殊積分的若干方法。

關鍵詞:無窮積分 瑕積分 方法

一、研究現(xiàn)狀

數(shù)學分析是數(shù)學及相關專業(yè)最重要的一門基礎課程之一，也是這類專業(yè)的學生進入大學后最早面對的課程之一。許多數(shù)學工作者都曾從事這方面的研究，并取得了豐碩的成果。20世紀初年勒貝格開創(chuàng)了可列可加測度的積分論，即實變函數(shù)，也稱實分析。復變函數(shù)論繼續(xù)向縱深發(fā)展，形成復分析。以函數(shù)空間為背景的泛函和算子理論，開始了泛函分析的歷程。三角級數(shù)論發(fā)展成的各種各樣的傅立葉分析。20世紀分析學的另一個特征是處理高維空間中曲線曲面，多變量函數(shù)的整體特征，這需要拓展學生知識和代數(shù)工具，形成流形上的積分。它使微分幾何學，偏微分方程，多復變函數(shù)論等學科相綜合，形成當代數(shù)學中的主流方向。與此同時，研究多元函數(shù)的反函數(shù)，多元積分的外微分形式，逐漸成為分析學中的基礎知識。

20世紀的分析學基本上解決了線性空間上的線性算子(線性微分方程)的課題，目前非線性分析已成為最活躍的數(shù)學分支之一。微積分的基礎雖已嚴密化，但是無窮小量卻不再是一個量，而是一個變化過程。為了使無窮小和無窮大作為一個量重返數(shù)壇，羅賓遜在1960年將實數(shù)系R擴充為超實數(shù)系R*，無窮小量作為實數(shù)系R*的數(shù)，使極限過程的表示更為簡單，這稱為非標準分析。

而積分學作為數(shù)學分析的重要組成部分，是數(shù)學專業(yè)及物理、化學、建筑等其他相關專業(yè)的學生必備的基礎知識。所以，研究無窮積分、瑕積分的計算具有十分重要的意義。我國的數(shù)學工作者在這個方向也做出許多成績。比如蘭州交通大學數(shù)理與軟件工程學院的許軍保老師于2004年在《商洛師范專科學校學報》上發(fā)表了《瑕積分計算的簡化》。另外，還有許多從事這方面研究的數(shù)學工作者也取得了不少的成績。由于本人水平有限，在這里只是淺談無窮積分、瑕積分的計算方法。

二、無窮積分的求解方法

1.基本概念與性質(zhì)

(1)定義

注:本道例題中，所求積分轉(zhuǎn)化為了一個瑕積分和一個無窮積分的和。

四、結(jié)論

無窮積分與瑕積分統(tǒng)稱廣義積分，是積分理論中的重要內(nèi)容。深刻認識無窮積分與瑕積分的關系，對正確把握常義積分與廣義積分的區(qū)別和聯(lián)系具有十分重要的作用。而廣義積分又可以看作是定積分與函數(shù)極限的結(jié)合，因此有關定積分的計算公式和技巧幾乎都能應用于廣義積分。其中最典型的就是分部積分法。

前面已經(jīng)說過無窮積分和瑕積分在知識結(jié)構(gòu)上不是相互依存的關系，而是并列存在的關系。因此本文討論了幾種有關無窮積分的計算方法，討論了幾種有關瑕積分的計算方法。其中定義法、分部積分法是計算廣義積分最根本的方法。但是，對于那些有一定難度的題目，就需要一些解題技巧，這需要讀者自己去不斷總結(jié)。

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作者單位:四川省萬源市萬源中學