有限周期復合結構隔振系統的有限元分析

趙大為 王 勇 吳聲敏 江 山 董仁義

中國艦船研究設計中心，湖北武漢430064

有限周期復合結構隔振系統的有限元分析

趙大為 王 勇 吳聲敏 江 山 董仁義

中國艦船研究設計中心，湖北武漢430064

基于有限元法，研究有限周期復合結構的隔振性能。利用波動方程建立復合結構的數學模型，用有限元法對其離散，最后進行數值仿真。結果表明，有限周期復合結構的模態頻率隨著散射體密度的增加而減小，隨著散射體直徑的增大，隔振效果越好，并且有效隔振頻率范圍隨散射體直徑的增大而增大。

周期；有限元法；隔振；復合結構

1 引言

有限周期復合結構由有限尺寸的彈性材料組成，在基體中周期性地鑲嵌散射體，當彈性波在受到彈性常數及密度的周期性調制時，會產生彈性波帶隙，即在一定頻率范圍內的彈性波的傳播將被抑制或禁止。因此，有限周期復合結構在艦船低頻減振降噪［1－3］、抗沖擊［4］、水下結構設計［5］、振動濾波器、新型傳感器等方面，具有廣泛的應用前景。

有限元方法自20世紀50年代創立以來，在艦船研究領域內得到了廣泛的應用［6－10］。有限元法基于集中質量思想，在低頻范圍內具有收斂好、易于計算復雜結構等優點。本文試圖利用有限元法對有限周期復合結構進行分析，并對其隔振性能做了初步評估。

2 有限周期復合結構模型和假設

本文所研究的周期復合結構如圖1所示。圖中給出坐標軸x1和x2的方向，x3方向垂直于紙面向上。為了分析的方便起見，圖1中已經人為地將復合結構周期地劃分為單層結構。陰影部分A為基體材料，其中周期插入了球狀散射體B，其直徑均為d。其間距a為x1方向的晶格常數，b為x2方向的晶格常數，h為x3方向的晶格常數。本文僅討論該周期復合結構沿x1方向的隔振效果，為了后面的計算方便，作如下假設：

圖1 有限周期復合結構示意圖

1）外激勵力為簡諧函數，且沿x1方向垂直入射到周期復合結構上；

2）基體A和球狀散射體B由均勻、各向同性、連續材料組成。

3 有限周期復合結構系統的運動方程

以左下角第一個球狀散射體的球心為坐標原點，球狀散射體B的中心在x1，x2，x3上的坐標為（ma，nb，lh），其中m，n，l＝0，±1，±2，…。設外激勵力大小為F（u1）eiωt，則系統的運動微分方程為：

式中，u1，u2分別為沿 x1，x2軸方向的振動位移；λ，μ為材料的拉梅（Lame）常數；ρ為材料密度。

在周期復合結構層與層之間的邊界處必須滿足兩點假設，即位移u1連續和應力張量T1連續。

波動方程式（1）的位移場解可以表示為：

外激勵力作用到周期復合結構上，能量通過彈性波的形式傳播，于是有：

式中，i1代表沿坐標軸x1方向的單位矢量；kL為彈性波的波數，kL＝。

由球狀散射體關于x2和x3的周期排列，以及散射體表面的零作用力，使得uS1（x）的周期形式可以在x2和x3坐標上用指數傅立葉級數來表示。為了寫出該級數的一般表達式，這里采用常用的位移分解方法，將u（x）表示成標量勢函數φ（x）和矢量勢函數ψ（x）的形式［4］：

式中，φ（x）和ψk（x）分別滿足含縱波波速kL和橫波波速kT的波動方程：

式中，角標“＋”的應用范圍為x1＞0，角標“－”的應用范圍為x1＜0；

式中，彈性橫波波數kT=；彈性橫波波速cT=

對于小阻尼結構，彈性波波數為：

式中，ηs為材料的結構損耗因子。

為了對有限周期復合結構進行有限元分析，將彈性波波動方程式（1）寫成矩陣形式，即：

式中，微分算子

4 有限周期復合結構的有限元分析

4.1 網格劃分

圖2是3×3周期復合結構示意圖。本文采用ANSYS有限元分析軟件，選擇四面體單元Solid 45并用自由網格對所研究的周期復合結構劃分網格，圖3為其網格劃分結果。為了顯示方便，將基體和內嵌散射體分開表示，其中圖3（a）表示基體的網格劃分結果，圖3（b）表示內嵌散射體的網格劃分結果。

圖2 3×3周期復合結構示意圖

圖3 3×3周期復合結構的網格劃分

由于基體與內嵌散射體是獨立的兩個實體，因此，在網格劃分完成以后，還需要解決各單元的聯結問題。一般是將各單元重復的結點進行合并，使位移和力能夠通過結點傳遞下去。

4.2 迭代算法步驟

下面將本文采用的有限單元法和中心差分法逐步求解有限周期復合結構振動位移的算法步驟歸納如下：

1）根據單元結點坐標和單元位移｛u｝（r）（r＝1，2，…）建立單元局部坐標系；

6）各單元作用到結點上的力，｛F（u）｝（r）＝（式中負號代表反作用力），得到不平衡力，｛ΔF（u）｝（r）＝｛F（u）｝＋｛F（u）｝（r）＝

7）求解結構平衡方程，［K］（r）｛Δu｝（r＋1）＝｛ΔF （u）｝（r），得到第r＋1次迭代的位移增量｛Δu｝（r＋1），于是｛u｝（r＋1）＝｛u｝（r）＋｛Δu｝（r＋1）；

8）給出位移、速度和加速度t＝0時刻的初始條件，u0，˙0，¨0；

9）選擇時間步長Δt，并計算積分常數c0＝

10）將積分常數代入式（1），每次迭代完成后增加一個時間步長Δt，一直計算到時刻t，即可得到第r＋1次迭代的振動位移；

11）反復迭代，直到收斂條件｛ΔF｝趨近于0，否則返回到第1）步繼續運算。

5 結果分析及討論

計算時所用主要參數選取：晶格常數a＝0.05 m，b＝0.05 m，h＝0.05 m；基體材料為硅橡膠，其密度為ρA＝1 300 kg／m3；拉梅常數λA＝6×105Pa，μA=4×104Pa，彈性模量EA＝7.84×106Pa，泊松比vA＝0.47；球狀散射體分別為銅和鋁，其主要材料屬性為 ρCu＝8 356 kg／m3，拉梅常數 λCu＝1.726×1010Pa，μCu＝7.527×1010Pa，彈性模量ECu＝1.08×1011Pa，泊松比vCu＝0.31；ρAl＝2 799 kg／m3，拉 梅 常 數 λAl＝5.895 5×1010Pa， μAl＝2.681 2×1010Pa，彈性模量EAl＝6.8×1010Pa，泊松比vAl＝0.32。對系統進行簡諧激勵，激勵點的位置在坐標（0，0.075，0.075）處，且其位移激勵的幅值為0.001 m；輸出點的位置在坐標（0.15，0.075，0.075）處。

5.1 數值仿真結果

本文對三維3層周期復合結構隔振系統進行數值仿真，即n＝3。

表1列出了本文所研究的有限周期復合結構當散射體直徑為d＝0.03 m、材料分別為Cu和Al時的前10階模態頻率。

散射體直徑分別為d＝0.02 m、0.03 m和0.04 m時周期復合結構的振動傳遞率隨頻率f的變化曲線如圖4～圖6所示。其中圖（a）和圖（b）表示散射體分別為銅和鋁的情況，并且實線表示無阻尼時的情況，短虛線表示考慮橡膠的阻尼系數為0.000 1的情況，長虛線表示考慮橡膠的阻尼系數為0.000 5的情況。

5.2 數值仿真結果討論

從表1可以看出，有限周期復合結構的模態頻率隨著散射體密度的增加而減小。從圖4～圖6可以看出，周期復合結構的基頻隨著散射體直徑的不同而不同，且隨散射體材料的不同而變化不大。當散射體直徑由0.02 m增加到0.04 m時，振動衰減率的極值也逐漸減小，由－17dB降到－28 dB以下，即隨散射體直徑的增大振動衰減越厲

表1 有限周期復合結構前10階模態頻率

圖4 散射體直徑d＝0.02 m時周期復合結構的隔振性能曲線圖

圖5 散射體直徑d＝0.03 m時周期復合結構的隔振性能曲線圖

圖6 散射體直徑d＝0.04 m時周期復合結構的隔振性能曲線圖

害。在低頻范圍內，當散射體直徑為0.02 m時，周期復合結構的有效隔振頻率范圍為46～190 Hz；而當散射體直徑增大到0.04 m時，周期復合結構的有效隔振頻率范圍為39～200 Hz以上。為此，可以得出有利于工程設計的一些結論。

1）有限周期復合結構的模態頻率隨著散射體密度的增加而減小；

2）周期復合結構的基頻隨著散射體直徑的不同而不同，且隨散射體材料的密度不同而有所變化；

3）隨著散射體直徑的增大，周期復合結構的減振效果越來越好；

4）周期復合結構的有效隔振頻率范圍隨散射體直徑的增大而增大。

［1］溫激鴻，王剛，劉耀宗，等.金屬／丁腈橡膠桿狀結構聲子晶體振動帶隙研究［J］.振動工程學報，2005，18（1）：1－7.

［2］吳福根，劉正猷，劉有延.二維周期性復合介質中彈性波的能帶結構［J］.聲學學報，2001，26（4）：319－323.

［3］SIRVENT R E，COCOLETZI G H.Band structure for the propagation of elastic waves in superlattices［J］.Journal of the Acoustical Society of America，1994，95（1）：86－90.

［4］李青，吳廣明.水面艦艇舷側抗沖擊防護結構形式初探［J］.中國艦船研究，2008，3（3）：26－29.

［5］董仁義，吳崇健.水下翼型水動力學與聲學研究進展［J］.中國艦船研究，2008，3（3）：1－9.

［6］徐張明，沈榮瀛，等.利用FEM／IBEM計算流體介質中的殼體的結構聲耦合問題［J］.振動工程學報，2002，15（3）：363－367.

［7］鄒元杰，趙德有.水下結構聲固耦合振動的特征值計算［J］.船舶力學，2004，8（2）：109－120.

［8］鄒元杰，趙德有.按可壓縮流體計算結構響應對聲輻射的影響［J］.大連理工大學學報，2004，44（1）：85－90.

［9］徐張明，汪玉，華宏星，等.船舶結構的建模及水下振動和輻射噪聲的FEM／BEM計算 ［J］.船舶力學，2002，6（4），89－95.

［10］曾革委.潛艇結構水下聲輻射及其控制研究［D］.中國艦船研究設計中心博士后工作站，2005.

Finite Element Analysis of Vibration Isolation System for the Periodic Composite Structure

Zhao Da-wei Wang Yong Wu Sheng-min Jiang Shan Dong Ren-yi
China Ship Development and Design Center，Wuhan 430064，China

Based on finite element method and central difference method，the vibration isolation performances of finite periodic composite structure are studied.The mathematical model is established by the wave equation.The structure is discreted by finite element method and central difference method.Finally，numerical simulation is carried out.The results show that the modal frequencies of the structure decrease with the increase of the density of the inner scatterers，the effect of vibration isolation gets better with the increase of the diameter of the inner scatterers，and the effective frequency ranges of vibration isolation get wider with the increase of the diameter of the inner scatterers.

period；finite element method；vibration isolation；composite structure

O328，TH113.1

：A

：1673－3185（2009）01－43－04

2008－05－04

趙大為（1982－），男，工程師，碩士研究生。研究方向：船舶系統。E-mail：zdw1811＠yahoo.com.cn

王 勇（1974－），男，工程師，博士。研究方向：船舶系統