向量概念的發(fā)展

房元霞

向量（矢量）是現(xiàn)代數(shù)學(xué)和物理學(xué)中的重要工具，對數(shù)學(xué)和物理學(xué)的發(fā)展產(chǎn)生了不可或缺的影響。向量概念的產(chǎn)生和演變也正是源自于數(shù)學(xué)的內(nèi)部需要和物理學(xué)的直接推動(dòng)。

一、建立現(xiàn)代向量理論的基礎(chǔ)

力的平行四邊形法則、萊布尼茲的位置幾何以及復(fù)數(shù)的幾何表示思想是向量理論起源的三個(gè)重要思想源泉[1]29。為了復(fù)數(shù)便于應(yīng)用，韋賽爾（C.Wessel）于1797年，阿爾岡（J.R.Argand）于1806年分別獨(dú)立地建立起復(fù)數(shù)的幾何表示，并為數(shù)學(xué)家們所接受和熟悉，于是數(shù)學(xué)家們認(rèn)識(shí)到復(fù)數(shù)可以用來表示和研究平面上的向量。然而復(fù)數(shù)不能刻畫三維空間中的一般物理量，所以，數(shù)學(xué)家們試圖將這種思想推廣到三維空間中去，尋找復(fù)數(shù)的空間類似物，但他們的嘗試總是在乘法的困難面前失敗。英國的數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家哈密頓（w.r.hamilton）和德國數(shù)學(xué)家格拉斯曼（H. G. Grassmann）的創(chuàng)造解決了這個(gè)問題。

哈密頓把復(fù)數(shù)處理成有序?qū)?a，b)，構(gòu)造了復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算法則。之后，他希望能發(fā)展類似于(a，b)的三元數(shù)組(a，b，c)的代數(shù)理論。經(jīng)過十三年的努力，哈密頓終于在1843年找到了問題的解。當(dāng)然，不是他所期望的三元數(shù)組，而是有4個(gè)分量的四元數(shù)，并且要放棄乘法交換律。哈密頓的四元數(shù)(a，b，c，d)類似于復(fù)數(shù)記為a+bi+cj+dk，其中a,b,c,d∈R，I,j,k滿足i2=j2=k2=ijk=-1,ij=-ij=k,jk=-kj=I,ki=-ik=j。因?yàn)閎j+cj+dk可以在三維空間中用幾何的方法構(gòu)造直線或徑矢[2]532，所以，哈密頓把四元數(shù)Q=a+bi+cj+dk分為兩部分：數(shù)量部分SQ=a和向量部分VQ=bi+cj+dk。哈密頓第一個(gè)用“向量（vector）”表示了有向線段。

正當(dāng)哈密頓建立四元數(shù)時(shí)，格拉斯曼對復(fù)數(shù)作了更大膽的推廣。在他1840年完成的論文《潮汐理論》中已包括了三維向量代數(shù)的大部分內(nèi)容，1944年的《線性擴(kuò)張理論》闡述了n維向量空間。但是，由于內(nèi)容過于抽象，思想超前又語言晦澀難以理解，故在相當(dāng)長的一段時(shí)間內(nèi)被人忽視，對向量理論的發(fā)展影響較小。

二、物理學(xué)的應(yīng)用促進(jìn)了向量的演變

適應(yīng)物理學(xué)對向量分析的需要，英國的物理學(xué)家泰特（P. G. Tait）和麥克斯韋（J. C. Maxwell）繼承和發(fā)展了四元數(shù)理論。泰特在1867年寫了一篇提倡四元數(shù)方法在物理學(xué)中應(yīng)用的文章：“論四元數(shù)的基礎(chǔ)理論”，討論了兩個(gè)向量的相等、加法、減法、數(shù)乘以及向量的積和商，包含了所有與現(xiàn)代意義下向量點(diǎn)積和叉積的規(guī)律相當(dāng)?shù)膬?nèi)容。特別的，他證明了Sαβ=-TαTβcosθ（這里Tα表示α的長度，θ是α和β間的夾角）Vαβ=-VαVβsinθ·η（這里η是一個(gè)垂直α和β的單位向量）。麥克斯韋在“論物理量的數(shù)學(xué)分類”一文中對四元數(shù)做了討論，而對于向量概念的演變最重要的著作是1873年出版的《論電和磁》，其中標(biāo)量積和向量積經(jīng)常是單獨(dú)使用，物理結(jié)論的表示使用了笛卡爾坐標(biāo)和四元數(shù)兩種形式。麥克斯韋將四元數(shù)分析的某些部分與《論電和磁》中介紹的重要物理概念聯(lián)系起來，勾畫出物理學(xué)家所需要的向量分析的輪廓。

三、三維向量代數(shù)和向量分析的建立

獨(dú)立的三維向量代數(shù)和向量分析是由美國的吉布斯（J. W. Gibbs）和英國的亥維塞（O. Heavi-side）在十九世紀(jì)八十年代建立的。吉布斯在耶魯大學(xué)開設(shè)了一門向量分析在電子學(xué)中的應(yīng)用的課程，并于1881年和1884年非公開地出版了他向量分析研究的結(jié)果。吉布斯首先定義了“向量”、“標(biāo)量”、“向量分析”等概念，并且沿襲四元數(shù)的傳統(tǒng)，用希臘字母來表示向量，通過i，j，k表示向量的分量。在向量乘法方面，引入了“直積”，寫作α.β；“斜積”，寫作α×β，還討論了向量的微積分等。亥維塞于1882年和1883年的著作公開發(fā)表了有關(guān)向量的系統(tǒng)論述，他的結(jié)果除了記號(hào)外本質(zhì)上與吉布斯的一致。到了1901年，吉布斯的《向量分析》正式出版，物理界更加清楚地知道是向量而不是四元數(shù)為描述物理概念提供了必需的語言。當(dāng)然從四元數(shù)到向量的演變是一個(gè)尋找三維空間物理量適合的數(shù)學(xué)表示和演算工具的過程，是一個(gè)“認(rèn)識(shí)”多于發(fā)現(xiàn)的過程[3]496。

四、向量在中國

伴隨著物理學(xué)和數(shù)學(xué)的引進(jìn)，向量在中國得以傳播和發(fā)展。美國傳教士丁韙良（W. A. P. Martin）編輯翻譯了《格物測算·電學(xué)》，并于1883年由京師同文館初刊，書中用“雙立人”偏旁表示矢量。正式出版的第一部中譯本四元數(shù)著作是顧澄翻譯，并于1909年石印出版的《四原原理》（由于與我國的四元術(shù)之“四元”容易混淆，暫譯為“四原”） [1]30。1921年，北京高等師范學(xué)校的《數(shù)理雜志》第3卷第2期中應(yīng)用了現(xiàn)代向量的符號(hào) 。二十世紀(jì)早期，由于中國學(xué)者的出國學(xué)習(xí)和翻譯工作使得向量理論得以在中國廣泛傳播和研究，與向量理論有關(guān)的著作、論文和教科書不斷出現(xiàn)，許多高校已把向量內(nèi)容作為數(shù)學(xué)、物理專業(yè)課程的部分章節(jié)，而向量的名稱一直未統(tǒng)一，1989年全國自然科學(xué)名詞審定委員會(huì)將“Vector”譯為“矢量、向量”（物理稱“矢量”，數(shù)學(xué)稱“向量”）。近年來，隨著基礎(chǔ)教育數(shù)學(xué)課程改革的不斷發(fā)展和深入，向量的內(nèi)容已進(jìn)入高中數(shù)學(xué)課程。由于向量集數(shù)形于一身，典型地體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想，是溝通代數(shù)、幾何與三角的橋梁，所以，向量是高中數(shù)學(xué)課程處理數(shù)學(xué)問題的基本的工具之一，向量的概念和方法已經(jīng)成為現(xiàn)代社會(huì)公民的基本的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

參考文獻(xiàn)

[1]轉(zhuǎn)引自：孫慶華，包芳勛，向量在中國的傳播[J]太原理工大學(xué)學(xué)報(bào)（社會(huì)科學(xué)版） 2006（6）29－33

[2] V， J， KATZ，數(shù)學(xué)史通論[M]（第二版） 李文林等譯 北京：高等教育出版社，2004，530－533

[3]羅賢強(qiáng)，向量概念演變的歷史分析[J] 西北師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版） 2005（4） 492496

[4]嚴(yán)士健， 張奠宙， 王尚志， 普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn)) 解讀[M] 南京： 江蘇教育出版社， 2004， 121