排列組合的解題策略

張惠娟

【摘要】排列組合極具抽象性而成為“教”與“學”的難點,本文筆者結合自己的日常教學經驗談了排列組合的解題策略。

【關鍵詞】排列組合 解題策略

排列組合作為高中代數課本的一個獨立分支,因為極具抽象性而成為“教”與“學”難點。有相當一部分題目教者很難用比較清晰簡潔的語言講給學生聽,有的即使教者覺得講清楚了,但是由于學生的認知水平,思維能力在一定程度上受到限制,還不太適應。從而導致學生對題目一知半解,甚至覺得“云里霧里”。針對這一現象,筆者在日常教學過程中經過嘗試總結出一些個人的想法跟各位同行交流一下。

筆者認為之所以學生“怕”學排列組合,主要還是因為排列組合的抽象性,那么解決問題的關鍵就是將抽象問題具體化,我們不妨將原題進行一下轉換,讓學生走進題目當中,成為“演員”,成為解決問題的決策者。這樣做不僅激發了學生的學習興趣,活躍了課堂氣氛,還充分發揮學生的主體意識和主觀能動性,能讓學生從具體問題的分析過程中得到啟發,逐步適應排列組合題的解題規律,從而做到以不變應萬變。當然,在具體的教學過程中一定要注意題目轉換的等價性,可操作性。

下面筆者將就教學過程中的兩個難點通過兩個特例作進一步的說明:

1.占位子問題。例1:將編號為1、2、3、4、5的5個小球放進編號為1、2、3、4、5的5個盒子中,要求只有兩個小球與其所在的盒子編號相同,問有多少種不同的方法?

①仔細審題。在轉換題目之前先讓學生仔細審題,從特殊字眼小球和盒子都已“編號”著手,清楚這是一個“排列問題”,然后對題目進行等價轉換。

②轉換題目。在審題的基礎上,為了激發學生興趣進入角色,我將題目轉換為:讓學號為1、2、3、4、5的學生坐到編號為1、2、3、4、5的五張凳子上(已準備好放在講臺前),要求只有兩個學生與其所坐的凳子編號相同,問有多少種不同的坐法?

③解決問題。這時我在選另一名學生來安排這5位學生坐位子(學生爭著上臺,積極性已經得到了極大的提高),班上其他同學也都積極思考(充分發揮了學生的主體地位和主觀能動性),努力地“出謀劃策”,不到兩分鐘的時間,同學們有了統一的看法:先選定符合題目特殊條件“兩個學生與其所坐的凳子編號相同”的兩位同學,有C種方法,讓他們坐到與自己編號相同的凳子上,然后剩下的三位同學不坐編號相同的凳子有2種排法,最后根據乘法原理得到結果為2×C=20(種)。這樣原題也就得到了解決。

④學生小結。接著我讓學生之間互相討論,根據自己的分析方法對這一類問題提出一個好的解決方案。(課堂氣氛又一次活躍起來)

⑤老師總結。對于這一類占位子問題,關鍵是抓住題目中的特殊條件,先從特殊對象或者特殊位子入手,再考慮一般對象,從而最終解決問題。

2.分組問題。例2:從1、3、5、7、9和2、4、6、8兩組數中分別選出3個和2個數組成五位數,問這樣的五位數有幾個?

(本題我是先讓學生計算,有很多同學得出的結論是P×P)

①仔細審題。先由學生審題,明確組成五位數是一個排列問題,但是由于這五個數來自兩個不同的組,因此是一個“分組排列問題”,然后對題目進行等價轉換。

②轉換題目。在學生充分審題后,我讓學生自己對題目進行等價轉換,有一位同學A將題目轉換如下:從班級的第一組(12人)和第二組(10人)中分別選3位和2位同學分別去參加蘇州市舉辦的語文、數學、英語、物理、化學競賽,問有多少種不同的選法?

③解決問題。接著我就讓同學A來提出選人的方案同學A說:先從第一組的12個人中選出3人參加其中的3科競賽,有P×P種選法;再從第二組的10人中選出2人參加其中2科競賽有P×P種選法;最后由乘法原理得出結論為(P×P)×(P×P)(種)。(這時同學B表示反對)

同學B說:如果第一組的3個人先選了3門科目,那么第二組的2人就沒有選擇的余地。所以第二步應該是P×P .(同學們都表示同意,但是同學C說太蘩)

同學C說:可以先分別從兩組中把5個人選出來,然后將這5個人在5門學科中排列,他列出的計算式是C×C×P(種)。(再次通過互相討論,都表示贊賞)

這樣原題的解答結果就“浮現”出來C×C×P(種)。

④老師總結。針對這樣的“分組排列”題,我們多采用“先選后排”的方法:先將需要排列的對象選定,再對它們進行排列。

以上是我一節課兩個例題的分析過程,旨在通過這種方法的嘗試(教學效果比較明顯),進一步活躍課堂氣氛,更全面地調動學生的學習積極性,發揮教師的主導作用和學生的主體作用,讓學生在互相討論的過程中學會自己分析轉換問題,解決問題。