線性代數教學方法的實踐與總結

鄭穎慧 王麗麗

【摘要】本文給出了線性代數教學體系的設計,及雙基教學方法的應用。

【關鍵詞】線性代數 雙基教學 實踐與總結

一、引言

數學作為最古老的學科之一,對于人類社會的發展、科學的進步起著舉足輕重的作用,隨著知識的細化,數學領域也有了許多分支,線性代數就是其中的一支。而如今它作為一門基礎課在高等學府的各個專業里幾乎都有開設,這也足以顯示它的重要性。線性代數以其理論上的嚴謹性、方法上的靈活多樣性以及與其它學科之間的滲透性,使得它在自然科學、社會科學及工程技術等許多領域都有廣泛的應用。并且線性代數對學生邏輯思維能力、抽象思維能力及對事物認知能力的培養也是至關重要的。另外線性代數可為解決實際問題提供重要方法,因為在現代研究中我們不僅要研究單個變量之間的關系,還要研究多個變量之間的關系,而各種實際問題可以線性化,由于計算機的發展,線性化了的問題又可以計算出來,線性代數正是解決這些問題的有力工具。同時線性代數也是學習其它許多課程不可缺少的基本工具。

因此線性代數這門課對學生今后的發展起著一定的基礎性作用。這就需要教師在教這門課時,要給出教好的教學體系的設計,結合適當的教學方法,以達到較好的教學效果。本文就自己對這門課幾年的教學實踐,總結了一套切實可行的教學方法。

二、課程基本內容及其組織

線性代數反映在大綱的基本內容主要是行列式、矩陣、線性方程組、向量空間、二次型這五塊,有關的理論和算法體系縱橫交錯,形成網絡狀結構,這就需要在內容的組織上有一定的設計,根據切入點和推進思路,由線性方程組切入,與中學代數直接銜接,學生會比較容易入門。然后漸次提出新問題、引進新工具、克服新困難,這樣來延伸思路,將線性關系和線性結構的靈魂滲透其中,引導學生在學習算法的同時體會背后的關系和理論,一步一步登上線性空間、集成思維的新境界,使得他們的思維層次得以提升。圍繞這樣一個主導思路來組織內容,會更有利于教學效果的提升。

三、教學體系的設計

行列式、矩陣是線性代數最為重要的內容,在整個教學中,以行列式、矩陣作為計算工具,向量空間作為思維工具,用它們去解決多元一次的線性方程組和多元二次的二次型。以下給出對各章的安排。

第一章回顧中學解方程組的方法,由消元法給出二階三階行列式的定義,通過對三階行列式的剖析,結合n級排列的逆序數給出n階行列式的定義,然后依據n階行列式的定義推導出行列式的性質,最后引出Cramer法則,指出這是對多元問題作整體處理的新思路,是處理手段和思維方式的提升。

第二章對于不符合Cramer法則條件的方程組,由整體處理思路引出矩陣,主要介紹矩陣的計算、分塊矩陣、逆矩陣的求法。

第三章重點學習矩陣的初等變換,矩陣的秩,講解這些知識的同時結合解方程的方式,體現出整體處理的優勢。

第四章這些算法蘊含著怎樣的關系?方程組的不同類型、矩陣的不同等價標準形與向量之間的關系又如何?引出向量組的相關性與秩,從向量組上升到向量空間。這樣解線性方程組的必要理論都具備了,接著完整講解線性方程組理論,這時,算法不再重要,重點是理解線性方程組類型的識別及通解和解集的結構。

這是學習線性代數的第一階段,對矩陣和向量空間的要求以解線性方程組夠用の度。這樣可使難點分散,也使學生比較容易接受和推進。第一階段要達到兩個目的:第一,基本掌握線性代數中的三大算法(行列式、矩陣、線性方程組),具備整體處理多元一次問題的能力;第二,開始接觸向量的線性相關性和線性變換,有了基本概念,尤其是有了秩這個深刻概念,為下一階段做好鋪墊。第二階段以向量的線性關系和空間的線性結構為主線來推進。

第五章主要是延伸矩陣理論,包括討論方陣的特征值與特征向量,由初等變換引向相似變換、合同變換、正交變換,討論四個變換的關系、性質、用途的異同,以及方陣的對角化問題,使學生對線性變換和矩陣的理解再大大前進一步。接著,著手解決多元二次型問題,主要是標準化和正定性兩個問題。

學到這個階段,學生就能教好地領略到線性代數的強大作用,學生的思維能力和邏輯推理、數學表述會有很大提升,這就基本上達到了這門課的教學目的,實現了它的教學理念。

四、雙基教學方法的應用

中國數學教育主要以雙基教學為主要特征,數學雙基教學的定義是:數學基本知識和基本技能。但“數學雙基教學”作為特定的名詞,其內涵不只限于雙基本身,還包括在雙基之上的發展。

1.雙基教學的理論特征

(1)記憶通向理解。理解是記憶的綜合,數學雙基強調必要的記憶。例如,行列式性質的記憶,使之成為行列式計算的直覺和條件反射。但理解不能孤立地進行,對一些行列式的計算,能夠理解的當然要操練,一時不能理解的也要操練,在操練中逐步加深理解。

(2)速度贏得效率。數學教育理論認為,只有把基本的運算和基礎的思考,化為“直覺”,能夠不假思索地進行條件反射,才能贏得時間去做更高級的數學思維活動。比如行列式和矩陣的計算是線性代數的基礎部分,這個基礎打好了我們就能去很快的熟練掌握線性方程組的解法和對稱矩陣的對角化等難度較高的知識點。

(3)嚴謹形成理性。中國的數學學習,則注重理性的思維能力。人的生活和工作都需要這種能力,所以才顯出了學習數學的重要性,而要學好數學就必須有嚴謹的治學態度。

(4)重復依靠變式。中國的數學教育重視“變式練習”,在變化中進行重復,在重復中獲取變化,概念變式、過程變式、問題變式等多種方式是數學雙基教學的有機組成部分。

2.雙基教學的層次

(1)雙基基樁建設。行列式的性質和計算、矩陣的運算、逆矩陣的求法、矩陣的初等變換是整個線性代數的“基樁”,必須打得堅實,形成條件反射,熟練得成為直覺。

(2)雙基模塊教學。雙基的基本呈現方式是“模塊”。首先是主要知識點經過配套知識點的聯結,成為一條“知識鏈”,然后通過“變式”形成知識網絡,再經過數學思想方法的提煉,形成立體的知識模塊。

以解線性方程組的模塊為例。首先需要具備行列式的性質和計算,矩陣的初等變換的“基樁”技能。然后逐步形成以矩陣的秩為主的知識鏈,接著通過系數矩陣和增廣矩陣的秩來討論線性方程組是否有解以及有解時是否有唯一解的問題。雙基模塊教學有很多行之有效的經驗，例如使用典型例題，通過變式形成問題串，然后提高到數學思想方法的高度加以總結。(3)雙基平臺。在掌握了雙基的模塊之后，必須尋求雙基的發展，這便是“雙基平臺”。雙基平臺具有以下特征。

基礎性：直接根植于雙基，是雙基模塊的組合、深化與發展；

綜合性：雙基平臺跨越多個知識點，綜合幾個“雙基模塊”，形成數學知識之間的相互聯結。

發展性：雙基平臺主要為數學解題服務，能夠居高望遠，看清一些數學問題的來龍去脈，獲得解題的策略。

例如，求一個正交變換x=py，把二次型f=-2x1x2+2x1x3+2x2x3化為標準型。就是一個綜合性很強的平臺，解題過程涉及行列式的計算、方陣的特征值和特征向量、向量的正交化、正交矩陣、矩陣的初等變換等許多知識。雙基平臺是數學雙基教學向前發展的必然結果，許多數學建模課題、研究性學習的課例，都是一種雙基平臺。

參考文獻：

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