讓學生擁有一顆具體分析的頭腦

徐宏臻

教學內容：蘇教版《義務教育課程標準實驗教科書數學》六年級(下冊)第80～81頁例3、例4及“練一練”。

教學過程：

一、在分析比較中引進中位數

1.前不久，李老師參加了一次跳繩比賽，7位老師的平均成績是120下，李老師排在第二名。猜一猜，李老師可能跳了多少下?

學生各自猜測，并說出想法。

2.你們都認為李老師的成績應在平均數之上，一定是這樣嗎?板貼出示如下成績：

誰來先排一排，讓這組數據變得有順序、清楚些?

學生移動板貼，并說明是按什么順序排的，以及這樣排的好處。

板書：大→小

再讓學生驗證一下平均數是不是120，并說明排名情況。學生驚奇地發現李老師的成績雖然比平均數低，卻排在第二名。

3.為什么李老師的成績比平均數低，卻還能排在第二名呢?啟發學生討論、交流。

結合學生的回答，出示統計圖：

引導學生觀察統計圖，分析原因，從而發現第一名楊老師跳得太好了，遠遠高于其他6位老師的成績，把平均數大大提高了。7個數據中高于平均數的只有1個，低于平均數的卻有6個，平均數已大大偏離了這組數據的中心位置。

教師順勢說明“238”這樣的數據對平均數產生了較大的影響，是一個極端數據，并問：你們覺得，這時用平均數120代表這7位老師跳繩的普遍水平合適嗎?

[評析]教者從學生已有的知識和經驗出發，精心設計認知沖突。學生親歷了數據排序的過程，感受到排序是必需的、有用的，為本課的教學埋下了伏筆。教者借助統計圖中平均數與其他數據的比較，形象地表示出極端數據與其他數據之間的差距，學生強烈地感受到：在一組個數不多的數據中，如果出現了極端數據，這時用平均數作為這組數據的代表已經不太合適，需要選用新的數據代表，從而激起學生尋找新的數據代表的心理需求。

4.你能從中選擇一個數據來代表這7位老師跳繩的普遍水平嗎?

學生充分地自主尋找，討論交流，并說出想法。在有一些學生認為應選擇102時，教者借助課件的動態演示，引導學生觀察。

統計圖中120周圍的數據集中情況，再觀察102周圍的數據集中情況，并回答以下問題：

(1)在與平均數120上下相差5下范圍內(115～125)的數據一共有多少個?(無)在與102上下相差5下范圍內(97～107)的數據一共有多少個?(4個)

(2)在與平均數120上下相差10下范圍內(110～130)的數據一共有多少個?(無)在與102上下相差10下范圍內(92～112)的數據一共有多少個?(6個)

學生發現：102正好是這組數據中正中間的一個，比它大的有3個，比它小的也有3個。大部分學生覺得這時用102更能代表這7位老師跳繩的普遍水平。

教者鼓勵學生試著給這個數起名，并說說想法。

5.揭示概念：一組個數不多的數據，如果它們的平均數受極端數據影響較大時，要用一種新的數來代表這組數據的整體特征。在把這些數據按大小順序排列后，位于正中間的數就是這組數據的中位數。(板書課題)

6.教師移動板貼，交換102和93的位置，讓93位于正中間，問：現在的中位數是93嗎?

教者運用變式練習，讓學生悟出在找中位數時，先要把一組數據按大小順序排列，然后再找正中間的一個數。

7.現在用李老師的成績“107”與中位數“102”比，你們覺得李老師的成績怎樣?(中等偏上)說明用中位數作為這組數據的代表既符合實際，又便于比較和判斷。

8.如果楊老師跳得更多，是258下或288下，其他老師的成績不變，這時平均數會變嗎?中位數會變嗎?引導學生推想，逐步感悟到平均數會受極端數據的影響，而中位數不會。

[評析]教者放手讓學生獨立思考，自主探索，合作交流，充分經歷尋找新的數據代表的過程，從中感悟中位數的意義。特別是教者借助統計圖進行直觀形象的分析。分別在平均數和中位數上下浮動，讓學生充分比較平均數和中位數代表性的強弱，通過對比促其逐步體會到在數據個數不多時，平均數受極端數據的影響較大，而中位數不受，且在中位數周圍集中了很多的數據，這時選用中位數作為一組數據的代表更合適些。教者還把李老師的成績與中位數相比，使學生初步領悟到中位數的作用。獲得認知平衡。他們還感受到進行數據分析的價值和樂趣。

二、在自主尋找中體會中位數

1.如果趙老師也參加了此次跳繩比賽，他跳了98下，這時你會找下列這組數據的中位數嗎?教者板貼增加一個數“98”。

學生先自主尋找，再討論交流并比較合理性，最后“創造”出中位數：在把8個數據按大小順序排列后，用正中間的兩個數的平均數作為這組數據的中位數。即中位數是：(100+102)÷2=101。

2.找出下列每組數據的中位數。

(1)35、24、25、17、19

(2)39、19、29、25、21、11

學生自主尋找并交流，從而歸納出找奇數個、偶數個數據的中位數的方法。

3，現在你能說說怎樣的數是中位數嗎?

[評析]教者再次設計認知沖突，巧妙地將數據從7個增加到8個，激發學生進一步探索的欲望，促其積極思考，主動創造。學生主動運用剛獲得的對中位數的認識解決問題，經歷了“再創造”的過程，從中學會找中位數的方法，體會到中位數的意義，建立新的認知平衡。

三、在實際運用中領悟中位數

1.出示“練一練”：下面是第一小組9位同學家庭的住房面積。(單位：平方米)

86、84、50、92、87、80、83、43、88

(1)這組數據的平均數和中位數各是多少?

(2)用哪個數據代表這9位同學家庭的住房情況比較合適?

(3)為什么這9個家庭住房面積的平均數比中位數低得多?

教師引導學生逐步解決上述問題。在回答問題(2)時，還特意選擇其中的“83”或“80”與中位數進行比較，從而讓學生體會到這里選用中位數做代表是合理的、有價值的。在回答問題(3)時，順勢說明這里的“43”與“50”對平均數也產生了較大的影響，也是極端數據。

2.出示李華同學5次數學測試的成績：

前四次分別是96分、99分、95分、92分，第五次他帶病考試，結果只考了58分。

(1)他5次考試的平均數和中位數各是多少?

(2)這時用哪個數據代表他的數學成績比較合適?為什么?

(3)如果他第五次考了91分，這時用哪個數據代表他的數學成績比較合適?為什么?

在回答問題(3)時，教者借助計算平均數和課件動態演示平均數的產生過程——移多補少，引導學生感悟到：如果一組數據未出現極端數據，當平均數與中位數又比較接近時，這時既可以用中位數，又可以用平均數作為這組數據的代表。相比之下，中位數只是其中的一個數據，而平均數集中了5次成績，因而更精確些。

3.張強同學參加跳遠比賽，預、決賽中共跳了6次，成績如下表：(表中的“×”表示犯規，無成績)

你知道裁判用哪個數據代表張強的比賽成績嗎?

引導學生結合實際說明，這里既不選中位數。也不選平均數，而選最好成績“4.4”。

[評析]教者有目的地選擇一些具體數據，不斷地讓學生把平均數與中位數進行比較，引導學生多次經歷尋找數據代表的過程，在解決實際問題的過程中，進一步明確各個統計量的意義和作用，感悟到它們之間的聯系與區別，逐步體會到要根據數據的特點，具體地分析數據，靈活地選擇數據代表；要根據不同的需要，選擇合適的數據代表，做到具體數據具體分析，具體問題具體對待，不形成思維定勢。

四、在拓展延伸中深化中位數

1.中國籃球明星姚明身高2.26米。假如他站在10名中國成年男子中，會對他們的平均身高產生較大的影響嗎?(會)這時用哪個數代表這11名男子身高的普遍狀況比較合適?(中位數)假如他站在一百名、一千名……中國成年男子中，會對他們的平均身高產生較大的影響嗎?(影響逐漸減小，直至無)這時用中位數作為這組數據的代表合適嗎?應選用哪個數作為這些數據的代表更合適些?

2.學生說說中位數的意義、找法和作用，談談感受。教者全課小結。(略)

[評析]為打破思維定勢，發展數學思維，教者又一次設計了認知沖突，激起學生深入探究的興趣，促使學生辯證地看待極端數據和中位數，合理地尋找數據代表。教者運用極限思想，引導學生逐步類比聯想到：在數據個數很多時，極端數據對平均數的影響已不大，這時用中位數作為一組數據的代表已不太合適，而用平均數就比較精確和合適，從而使學生在更高層次上建立了認知平衡。