中考規律探索型試題賞析

張符艷

規律探索型試題是近幾年中考出現的熱點題型之一,其特點是:給出一組具有遞進關系的數、式子、圖形或某個由簡單到復雜的操作過程,或某一具體的問題情境,通過探求其變化過程中的規律,歸納或猜想出一般性的結論。這類題立意新穎、靈活多變,滲透了類比、歸納、分類討論、數形結合等數學思想,備受命題者的青睞。

題型一:關于數字問題的猜想

(2009年恩施州)觀察數表,根據表中數的排列規律,則字母A所表示的數是____。

分析:從圖形中看出,兩側都是1,中間數的絕對值都是上邊相鄰兩個數字的和,每行第偶數個數字的符號為負,奇數個符號為正。

答案:10

方法點撥:本題是關于數字問題規律的探索,題目利用問題敘述和圖形結合命制,考查數形結合思想和歸納探索能力。對于數字猜想問題,通常可以從數列的角度來考慮,即找到第一天或第一列對應的數,再找到第二天或第二列對應的數,依次類推,根據所得數的規律探尋一般的規律。

題型二:關于等式問題的猜想

(2009年河年)古希臘著名的畢達哥拉斯學派把1,3,6,10…這樣的數稱為“三角形數”,而把1,4,9,16…這樣的數稱為“正方形數”。從圖中可以發現,任何一個大于1的“正方形數”都可以看作兩個相鄰“三角形數”之和。下列等式中,符合這一規律的是()

A.13=3+10 B.25=9+16

C.36=15+21 D.49=18+31

分析:此題關鍵是理解“正方形數”和“三角形數”這兩個從圖形組合的角度給出的概念。

答案:C

(2009年重慶)觀察下列等式:

①42-12=3×5; ②52-22=3×7;

③62-32=3×9; ④72-42=3×11;

……

則第n個等式為_____。

分析:從上式關系來看,等式左邊第一列分別為4,5,6,7連續數列的整數,第二列從1,2,3,4開始,右邊的第一列為3,第二列為5,7,9,11連續數列的奇數,恰為等號左邊兩個底數的和。

答案:(n+3)2-n2=3×(2n+3)

方法點撥:關于等式的問題,我們要注意觀察等式中各部分變化與等式所在的項數的關系。解這一類題目,要用到歸納推理,它是一種重要的數學思想方法。學習數學必須不斷的探索、猜想,不斷總結規律,才會有所發現、有所創新。

題型三:關于圖形排列規律的猜想

(2009年長春)用正三角形和正六邊形按如圖所示的規律拼圖案,即從第二個圖案開始,每個圖案都比上一個圖案多一個正六邊形和兩個正三角形,則第n個圖案中正三角形的個數為(用含n的代數式表示)。

分析:根據圖形可知,①中有4個正三角形②中有6個③中有8個按此規律④為4+3×2=10。按此方式可求出第n個圖案中正三角形的個數為4+2(n-1)。

答案:2n+2

方法點撥:將抽象的數或是通過一組圖形具體化,再從圖形中抽象出數或式,要求具備一定的抽象轉化能力,把問題定位到恰當的模型中。此題旨在引導學生關注生活,增強“做數學,用數學”的意識。

題型四:關于數形結合的規律

(2009年臺州)將正整數1,2,3,…從小到大按下面規律排列。若第4行第2列的為32,則①n=;②第i行第j列的數為 (用i,j表示)。

分析:按照“特例助思”,第4行第2列為3n+2,令3n+2=32,則n=10;此題每一行第一個數為(行數-1)n,第二個數為列數,第n行n列的數為這兩個數的和。

答案:10;10i+j-10

方法點撥:本題是關于數列與有序實數對之間的問題。此類題目可用兩種方法處理,其一是當數較小時,可直接列出全部的數,其二是找到一般規律,再找到特殊情況所對應的數。

作者單位:河北省遷安市西里鋪中學