用方程解決數學實際問題中的行程問題

武 箭

數學實際問題中的行程問題是用方程解決數學實際問題的典型題型,平時練習和考試中都會經常出現,而初中階段的學生對于應用題本已感到吃力,就更別說較好地把握行程問題的各種題型了,本文就用方程解決數學實際問題中的行程問題作簡單歸納,以供讀者參考。

不管是什么行程問題,其基本的關系都是:路程=速度×時間,而針對不同的實際情況又有其特有的關系,下面舉例說明:

一、相向問題

例1:甲乙兩站的路程為240千米,一列快車在甲站,一列慢車在乙站,快車的速度是慢車的1.5倍,若兩車同時開出,相向而行,2小時相遇,快車、慢車每小時各行多少千米?

分析:簡單的相向問題抓住基本關系:甲走的路程+乙走的路程=兩地的路程可設慢車的速度為x千米/小時,則快車的速度應為1.5x千米/小時,可得2(1.5x)+2x=240

例2:祖孫兩人在一條長300米的環行跑道上跑步,已知孫子的速度是爺爺的2倍,他們同時同地反向跑步,3分鐘后相遇,求祖孫兩人的速度。

分析:此題也可以看成是相向問題,抓住基本關系:爺爺的路程+孫子的路程=環行跑道一圈的路程,可設爺爺的速度為a米/分,則孫子的速度應為2a米/分,可得3a+3(2a)=300

二、追及問題

1.同地不同時的追及問題

其等量關系是:兩人所走的路程相等(兩人所用時間不同)

例:學校一隊師生步行去某風景區春游,大隊伍出發1.5小時后,學校有緊急通知,于是派通訊員騎自行車以每小時10千米的速度追趕,已知師生們步行的速度為2千米/小時,問通訊員出發后多少分鐘追上大隊伍?

分析:可設通訊員出發后x小時追上大隊伍,可得:10x=2(1.5+x)的出答案后將時間轉化為分鐘即可。

2.同時不同地的追及問題

其等量關系是:兩人所走的路程之差=兩地的距離(兩人所用時間相同)

例:摩托車與貨車分別在相距40千米的甲、乙兩地,兩車的速度分別是45千米/小時和35千米/小時,他們同時出發,貨車在前,多少小時后摩托車追上貨車?

分析:設m小時后摩托車追上貨車,可得:45m-35m=40

3.不同時不同地的追及問題

其等量關系是:兩人所走路程之差=兩地的距離(注意兩人所用時間不同)

例:摩托車與貨車分別在相距40千米的甲、乙兩地,兩車的速度分別是45千米/小時和35千米/小時,貨車在前,貨車先出發1小時后摩托車才出發,摩托車出發后多少小時才能追上貨車?

分析:設摩托車出發后n小時追上貨車,可得:45n-35(n+1)=40

4.同時同地的追及問題

這一類問題都是在環行跑道中的問題,其等量關系是:兩人所走的路程之差=環行跑道一圈的路程(兩人所用時間相同)

例:小王每天到田徑場沿400米跑道跑步,都見到一位田徑隊的叔叔也在跑步鍛煉,每次總是小王跑2圈的時間,叔叔跑3圈。一天小王打算和叔叔(下轉第65頁)(上接第64頁)同時同地同向而跑,看叔叔隔多少時間追上小王,結果隔2分40秒,叔叔就追上了小王。問兩人的速度分別是多少?

分析:“小王跑2圈的時間,叔叔跑3圈”表示小王與叔叔的速度之比為2∶3,設小王的速度為2a米/秒,則叔叔的速度為3a米/秒,于是160(3a)-160(2a)=400

三、航行問題

航行問題的基本數量關系:順水速=靜水速+水速,逆水速=靜水速-水速;找尋等量關系的方法:抓住兩碼頭之間距離不變,水流速度,船在靜水中速度不變的特點來考慮。

例:一艘船航行于A、B兩碼頭之間,順水航行需3h,逆水航行需5h,已知水流速度是4km/h,求兩碼頭之間的距離。

分析:此題直接設距離不如設船在靜水中的速度,然后根據順水路程等于逆水路程列方程求解,設船在靜水中的速度為x km/h,則船順水航行的速度為(x+4)km/h,而船逆水航行的速度為(x-4)km/h,有3(x+4)=5(x-4)

四、特殊問題

例:客車和貨車分別在兩條平行的鐵軌上行駛,客車長150米,貨車長250米,如果兩車相向而行,那么從兩車車頭相遇到車尾離開共需10秒鐘;如果客車從后面追貨車,那么從客車車頭追上貨車車尾到客車車尾離開貨車車頭共需1分40秒,求兩車的速度。

分析:可設客車和貨車的速度分別是x米/秒和y米/秒,但如果按實際進行作圖,此題比較復雜,不如這樣分析,兩車相向而行時,我們看作是貨車不動,只是客車前進,那么客車的速度就應是兩車速度之和,而從兩車車頭相遇到車尾離開就是行駛了兩車的總長400米的路程。即可列方程:10(x+y)=150+250

客車追及貨車時,我們也看作是貨車不動,只是客車前進,這時客車的速度就應是兩車速度之差,而從客車車頭追上貨車車尾到客車車尾離開貨車車頭就是行駛了兩車的總長400米。即可列方程:100(x-y)=150+250

兩個方程聯列得方程組求解即可得。

以上就用方程解決數學實際問題中的行程問題作簡單歸納,切不可生搬硬套,一定要具體問題具體分析,以不變應萬變,方能較好地解決實際問題。

作者單位:四川省瀘州市瀘縣第五中學