淺談高中數(shù)學(xué)解題方法

【摘要】任何學(xué)問都包括知識和能力這兩方面，對于數(shù)學(xué)，能力比起僅僅具有知識更加重要。

【關(guān)鍵詞】高中；數(shù)學(xué)；解題方法

【中圖分類號】G632.479【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A【文章編號】1005-1074(2009)05-0202-01

任何學(xué)問都包括知識和能力這兩方面，對于數(shù)學(xué)，能力比起僅僅具有知識更加重要。而數(shù)學(xué)中的能力指的就是解決問題的能力。一個(gè)數(shù)學(xué)教師，如果把他的時(shí)間塞滿了例行運(yùn)算來訓(xùn)練他的學(xué)生，他就扼殺了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。因而中學(xué)數(shù)學(xué)的首要任務(wù)是培養(yǎng)學(xué)生具備解決問題的才智、獨(dú)特見解及創(chuàng)造精神，把“解題”作為培養(yǎng)數(shù)學(xué)才能和教會(huì)他們思考的一種手段和途徑。對于數(shù)學(xué)題，其求解過程可總結(jié)為以下四個(gè)階段：①必須弄清問題，清楚地看到要求的是什么？②必須了解各個(gè)項(xiàng)之間有何聯(lián)系？未知數(shù)與已知條件之間有什么關(guān)系？③實(shí)現(xiàn)所制定的計(jì)劃，④回顧能完成的解答，對它進(jìn)行檢驗(yàn)和反思。上述每一個(gè)階段都有其重要性，下面通過實(shí)例對每一個(gè)階段進(jìn)行具體的分析。

第一階段：弄清問題。回答一個(gè)你尚未弄清的問題是愚蠢的，首先必須了解問題的文字?jǐn)⑹觯處熢谀撤N程度上可檢查學(xué)生這一點(diǎn)，同時(shí)不要錯(cuò)過這樣的問題：未知數(shù)是什么？已知條件是什么？求什么？滿足條件是否可能？

例1、若x、y、z∈R，且x＋y＋z=1，求證：x²＋y²＋z²≥13

要證明這一道題目，要求做題者必須掌握證明不等式的方法與技巧，明確要證的結(jié)論是什么？已知條件是什么？條件與結(jié)論之間有何關(guān)系？此題的已知條件是三個(gè)實(shí)數(shù)的和為1，根據(jù)此條件要證明它們的平方和不小于13。

第二階段：擬定計(jì)劃。我們知道，求解一個(gè)問題的主要成績是構(gòu)想出一個(gè)解題計(jì)劃的思路，看著未知數(shù)，試想起一個(gè)具有相同或相似未知數(shù)的熟悉問題來，你是否知道與此有關(guān)的問題？你是否知道一個(gè)可能用得上的定理？你能否利用它？為了解利用它，你是否應(yīng)該引入某些輔助元素？你是否利用了所有的已知數(shù)據(jù)？你是否利用了整個(gè)條件？你是否考慮了包含在問題中的所有必要的概念？因而我們需要擬定一個(gè)計(jì)劃。

例2、繼續(xù)考察例1

例1中需證的不等式，左邊是條件中三個(gè)實(shí)數(shù)的平方和，因此對此不等式的證明，一般地，我們的做法是先對條件等式兩邊平方。對x＋y＋z=1兩邊平方得：x²＋y²＋z²＋2xy＋2xz＋2yz=1

觀察平方后的等式：此式中已經(jīng)得到待證式左邊的式子x²＋y²＋z²，而其余三個(gè)式子2xy，2xz，2yz可通重要不等式的變形2ab≤a²＋b²進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為含有x²、y²、z²的式子，于是平方后等式左邊的式子全都可轉(zhuǎn)化為x²、y²、z²之間的關(guān)系式，從而可使不等式得到證明，此時(shí)計(jì)劃已擬定。

第三階段：實(shí)現(xiàn)計(jì)劃。想出一個(gè)計(jì)劃，產(chǎn)生一個(gè)求解念頭是不容易的，要成功，需要有許多條件，比如：已有的知識，良好的思維習(xí)慣，目標(biāo)集中，還要有好運(yùn)氣。但實(shí)現(xiàn)計(jì)劃則容易得多，我們需要的主要是耐心地處理好計(jì)劃中的每一個(gè)細(xì)節(jié)。

例3、我們繼續(xù)考察例2

x²＋y²＋z²＋2xy＋2xz＋2yz=1

而2xy≤x²＋y²，2xz≤x²＋z²，2yz≤y²＋z²，∵x²＋y²＋z²＋2xy＋2xz＋2yz≤3（x²＋y²＋z²）即3（x²＋y²＋z²）≥1∴x²＋y²＋z²≥13

這樣就實(shí)現(xiàn)了我們的求解計(jì)劃。

第四階段：回顧、反思。這一階段是我們最缺乏的，即使是相當(dāng)好的學(xué)生，當(dāng)他得到問題的解答，并且干凈利落的寫下結(jié)論后，通常就會(huì)合上書本，找點(diǎn)別的事來干。對于這一階段，很多做題者都容易忽略，其實(shí)通過回顧能完成的解答，可鞏固基礎(chǔ)知識和發(fā)展解題思維。

例4、再考察例1

仔細(xì)觀察例1，易知本例所證不等式取等號的條件是x=y=z=13，此時(shí)x²=y²=z²=132。活用二元均值不等式的關(guān)鍵在于創(chuàng)設(shè)條件，進(jìn)行檢查的分拆和配湊，于是有如下證法：

證明：∵13＝132＋132＋132

∴ x2 ＋ y2 ＋ z2 ＝（x²＋132）＋ (y²＋132)＋(z²＋132)－13≥2×13x＋2 ×13y＋2×13z－13= 23(x＋y＋z)－13= 23－ 13= 13

故x²＋ y²＋ z²≥ 13

此外，還可采用增量換元法：∵x＋ y＋z = 1

∴可設(shè)x =13＋t1，y =13＋t2，z = 13＋t3

則有t1 ＋t2＋t3= 0∴x²＋y²＋z²

=（13＋t1）²＋（13＋t2）²＋（13＋t3）²

= 13＋23（t1＋t2＋t3）＋（t12＋t22＋t32）

= 13＋（t12＋t22＋t32）

而t12＋t22＋t32≥0∴x²＋y²＋z ²= 13＋（t12＋t22＋t32）≥ 13即x²＋y²＋z2 ≥13

通過對例1的回顧，我們得出了幾種不同的證明方法，并且還可進(jìn)一步對例1從多個(gè)角度去探索、研究，對題目進(jìn)行引申和發(fā)展。

例如：1、從指數(shù)方向推廣，題目可作如下變形： （1）若x＞0，y＞0，z＞0，且x＋y＋z=1，求證：x³＋y³＋z³≥19（2）若x，y，z∈R且x＋y＋z=1，求證：x4＋y4＋z4≥122、從項(xiàng)數(shù)方向推廣：（1）若a，b，c，d∈R，且a＋b＋c＋d=1，求證：a²＋b²＋c²＋d2 ≥ 14（2）若ai∈R（i=1，2，…，n），且a1＋a2＋…＋an = 1，

求證：a12＋a22＋…＋an2≥ 1n，3、從指數(shù)和項(xiàng)數(shù)兩方面進(jìn)行推廣：若a，b，c，d＞0，且a＋b＋c＋d=1，求證：a³＋b³＋c³＋d³≥ 116

由此可見，第四階段的作用是很大的，通過對題目的回顧反思，讓我們養(yǎng)成探究性學(xué)習(xí)的好習(xí)慣，注意發(fā)散思維和聚斂思維的訓(xùn)練，學(xué)以致用，脫離題海。

下面我們再舉例說明一下，上述四個(gè)階段在解題中的應(yīng)用。

例5，中央電視臺(tái)創(chuàng)辦“城市之間”欄目以增進(jìn)各國交流，本期有倫敦、上海等10個(gè)不同國家的城市報(bào)名參賽，需將10個(gè)城市分成兩組，每組5個(gè)城市，且每組前兩名晉級總決賽，求倫敦、上海分在同一組的概率.

分析：

第一階段：弄清問題。1、已知條件：10個(gè)隊(duì)平均分成2組進(jìn)行比賽；2、待求結(jié)論：倫敦、上海分在同一組的概率；

第二階段：擬定計(jì)劃。先用排列組合知識求出10支隊(duì)伍平均分成兩組的分法及倫敦、上海分在同一組的分法，再利用等可能性事件概率公式求解。

第三階段：實(shí)現(xiàn)計(jì)劃。解:將10支隊(duì)伍平均分成兩組的分法有：C105#8226;C552!=126種，倫敦、上海分在同一組的分法有C83= 56種，故倫敦、上海分在同一組的概率為P = 56126= 49

第四階段：回顧、反思。對于分組問題，不同理解，就有不同的分法，因而也就有不同解法。上面的解法是平均分組，因而這兩個(gè)組是沒有順序的，下面我們來看有序分法所求出的結(jié)果。

法二：若將兩組看作有順序，不妨設(shè)為A、B兩組，則10個(gè)隊(duì)分成A、B兩組共有C105#8226;C55=252種分法，而倫敦、上海分在A組的方法有C83=56種，分在B組的分法有C83= 56種于是倫敦、上海分在同一組的概率：

P=2C83C105#8226;C55=49

可見，用有序分組和無序分組求出的結(jié)果完全相同，說明只要抓住實(shí)質(zhì)，不論任何方法都能解決問題。下面我們還有其它方法。

法三：設(shè)有編號為1， 2， 3， … ，10十根鑒，十支隊(duì)各抽一根，抽到1—5號簽的為A組，抽到6～10號簽的為B組，顯然抽簽是等可能的，倫敦、上海兩隊(duì)在十支鑒中任意抽得兩簽有C102種方法，倫敦、上海兩從1至5號簽中抽得兩簽有C52種抽法，從6至10號簽中抽得兩簽有C52種抽法，于是它們分在同一組的抽法共有2C52=20種，

∴所求概率P =2C52C102=49

法四：10支隊(duì)伍分成兩組，每組5支，可視為5個(gè)空位，上海隊(duì)先任選一組的一個(gè)位置，這組還剩4個(gè)空位，此時(shí)倫敦隊(duì)可在余下9個(gè)位置中任選一個(gè)，但要與上海隊(duì)同組就只能在上海隊(duì)這一組剩余4個(gè)位置選一個(gè)，于是倫敦、上海隊(duì)分在同一組的概率P =49

上述幾種解法各有千秋，由于對試驗(yàn)的具體解法不同，可取不同的等可能性事件集，解法四把分組問題巧妙轉(zhuǎn)化為排座位問題，在觀形象、簡潔明快，抓住了問題的本質(zhì)。

解題主要有以上四個(gè)階段，當(dāng)然并不是解每一道題都必須恪守這四個(gè)階段，但若能在解題中作好每一階段的分析、探索，就必定能在解題方面有所作為，有所感悟！