向量，“愛你”不容易

闞麗波

平面向量與幾何問題的綜合及應用通常涉及角度、平行、垂直、共線、共點等問題。我們將通過下面的典型問題向大家展示向量作為強大的數學工具，在解決幾何問題方面不俗的表現。

一、利用向量共線解決兩直線平行問題

在平面向量中兩個向量平行指如果有一個實數λ，使b=λa（a≠0），那么b與a是共線向量；反之，如果b與a（a≠0）是共線向量，那么有且只有一個實數λ，使b=λa。而兩直線平行并不能等同為兩條直線共線，它要求兩直線不重合。

例1 已知A（0，-2），B（2，2），C（3，4），求證：A，B，C三點共線。

分析 點共線可以與向量共線相互轉化。

二、利用向量數量積為0解決垂直問題

利用平面向量的數量積的有關運算可以用來解決解析幾何中有關軌跡方程的問題。

例2 證明：圓x²+y²=r²上一點M（x₀，y₀）處的切線的方程為xx₀+yy₀=r²。

分析 過圓上的一點的切線性質即：切線與過切點的半徑互相垂直。

證明 設切線上除切點M外任意一點P（x，y），由圓的切線性質可知，OM⊥MP，

點評 利用向量的方法，我們可以省去對直線的斜率存在情況的討論，這體現了向量方法的簡捷性。

三、利用兩向量所成的角求兩直線所成的角

在平面向量中兩個向量所成角的范圍是[0，π]，而兩條直線所成的角指兩直線相交所成的四個角中最小的一個角，即兩條直線所成的角的范圍是[0，π/2]。

例3 已知直線l₁：x一2y=0和l₂：x+3y-1-0，求直線l₁和l₂的夾角。

分析 我們只要分別在兩直線上截取向量，運用向量所成的角與直線所成的角的相互關系即可解決。

解 在l₁上取兩點，如（2，1），（0，0），記向量a=（2，1）-（0，0）=（2，1）；在l₂上取兩點，如（4，-1），（1，0），記向量b=（4，-1）-（1，0）=（3，-1），

所以θ=π/4，因為l₁和l₂的夾角為銳角，所以直線l₁和l₂的夾角為π/4。

向量作為一種解題工具，它的靈活運用能夠簡化我們的運算。同學們只要細心觀察，還將有好多的例子，相信你們能更加“喜歡”向量。