導數在經濟分析中的應用

[摘要] 本文研究導數對利潤、收入、成本、批量、稅收等經濟問題進行了優化分析。

[關鍵詞] 利潤 收入 成本 批量 稅收 應用

導數是研究由自變量變化引起的函數變化的快慢程度問題的。然而在經濟工作中，都可歸結為求某一函數的導數問題。本文對此進行分析和研究。

一、最大利潤問題

例1已知總收入和總成本分別為R=41.5Q-1.1Q2，C=150+

10Q-0.5Q2+0.02Q3，求使總利潤達到最大值的產量。

解 依題意企業總利潤函數為

L=R－C=41.5Q－1.1Q2－150－10Q+0.5Q2－0.02Q3

=-150+31.5Q－0.6Q2－0.02Q3

令L＇=31.5-1.2Q－0.06Q=0解得Q1=15，Q2=-35(舍去）

又L＂=-1.2-0.12Q所以 L＂(15)＜0

從而在以上相關條件下，當產量為15個單位時，總利潤達到最大值。

二、最大收入問題

例2．某企業每月生產甲、乙兩種不同產品為X和Y噸，X和Y之間滿足關系式

如果甲種產品的價格是乙種產品價格的一半，問每月生產多少噸甲種產品和乙種產品，能使企業獲得最大收入。

解 設甲產品的價格為a，則乙產品的價格為2a，總收入為R

則

令

即有x2-20x+80=0

解得

不難驗證x1，x2都是函數的極值點，因此

當時，有

則

當時，有

則

比較兩個R的值可知，取因此當甲乙產品各生產14.472或7.236噸時，企業能獲得最大收入。

三、最低成本問題

例3．某產品計劃在一個生產周期內的總產量為a噸，分若干批生產，設每批產品需要投入固定成本2000元，而每批生產直接消耗的變動成本與產品數量的立方成正比。如果每批生產20噸時，直接消耗成本4000元，問每批生產多少噸時，才能使總成本最省?

解 設每批生產X噸，則共有批，又設總成本為C，直接生產成本為C1，對固定成本有依題意有C1=KX3 當X=20，C1 =4000時，于是4000=K(20)3，解得所以故總成本為固定成本與直接消耗成本之和，即

令 解得（噸）

又由C＂＞0知，當x=12.6時，函數有最小值，故每批生產12.6噸時，可使總成本最省。

四、最優批量問題

例4．商店經銷某商品，年銷量為D件，每件商品的庫存費用為I，每批進貨量為Q，每次進貨所需要的費用為S，現假設商店在賣完該貨物時當即進貨，使庫存量為平均件，問每批進貨Q為多大時，整個費用最省？

解 由題設知，倉庫存儲費用為每年采購次數為所以總費用

令 解得由T＂＞0知，時，總費用T最少。

五、最大稅收問題

例5．設某企業在生產一種商品X件時的總收益為R（x）=100X－X2總成本函數為C(x)=200+50X+X2，問稅務部門對每件商品征收貨物稅為多少時，在企業獲得最大利潤的情況下，總稅額最大？

解 因為，總成本為C(x)=200+50x+x2 總收益為R(x)=100x-x2 總稅額T(x)=tx 總利潤為

L(x)=R(x)－C(x)－T(x)

=100x-x2－200－50x－x2-tx=50x-200-2x2-tx

令

解得又所以當時，為最大利潤。取得最大利潤時的稅額為

令得t=25，又

所以當t＝25總稅收取得最大值。故每件商品征收貨物稅為25(貨幣單位)時，總稅額最大。

參考文獻:

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