數學期望在經濟決策中的應用

[摘要] 文章通過實例介紹了數學期望在減少工作量、選擇最優存儲量、選擇最佳進貨量、總利潤最大問題等方面的應用，說明了數學期望在經濟決策中的重要作用．

[關鍵詞] 數學期望 經濟決策 應用

概率論是從數量上研究隨機現象統計規律性的學科，而隨機變量的分布函數能夠全面地反映隨機變量的統計規律性．但在諸多的經濟管理或決策工作中，一方面由于求出隨機變量的分布函數并非易事，而且對于某些實際問題來說，并不需要對隨機變量進行全面的描寫，只需知道能夠反映隨機變量的某些重要的數字特征即可．數學期望是反映隨機變量總體取值的平均水平的一個重要的數字特征，它在經濟決策工作中有著廣泛的應用，為決策者做出最優決策提供重要的理論依據。

一、數學期望的概念

定義1（1）設離散型隨機變量X的概率分布為P{X=xk}=pk，k=1，2，…，若級數絕對收斂，則稱級數為離散型隨機變量X的數學期望(或均值)，記為EX，即。若級數發散，則稱隨機變量X的數學期望不存在；（2）設連續型機變量X的概率密度函數為f(x)，若積分絕對收斂，則稱其為連續型隨機變量X的數學期望或均值，記為E(X)，

定義2設Y為隨機變量X的函數:Y=g(X)(g是連續函數)，（1)X是離散型隨機變量，分布律為P{X=xk}=pk，k=1，2，…，若級數絕對收斂，則有（2)X是連續型隨機變量，概率密度函數為f(x)，若積分絕對收斂，則有

二、數學期望的應用

1.期望值問題

例1一商場共有16層樓，設有10位顧客在一層進入電梯，每位乘客在樓上任何一層出電梯是等可能的，且各乘客是否出電梯相互獨立，求直到電梯中的乘客出空為止電梯需停次數X的期望值。

解:引入計數隨機變量

則有X=X2+X3+…＋X16。

由題意，每一個人在任何一層出電梯的概率為1/15，若10個人同時不在第i層出電梯，那么電梯在該層就不停，而此時的概率為

因此， 進而

2.減少工作量

例２某商場對員工(N人)進行體檢，其中普查某種疾病需要逐個驗血，一般來說，若血樣呈陽性，則有此種疾病;呈陰性則無此疾病．逐個驗血需要N次，若N很大，驗血的工作量也很大．為了能減少驗血的工作量，有人提出想法:把k(k＞1)個人的血樣混合后再檢驗，若呈陰性，則k個人都無此疾病，這時k個人只需作一次檢驗；若呈陽性，則對k個人再分別檢驗，這時為弄清誰有此種疾病共需檢驗k+1次．若該商場員工中患此疾病的概率為p，且各人得此病相互獨立，那么此種方法能否減少驗血次數？若能減少，那么能減少多少工作量？

解:令X表示該商場每人需要驗血的次數，那么X是只取２個值的隨機變量，其分布律為

則每人平均驗血次數為

而新的驗血方法比逐個驗血方法平均能減少驗血次數為1－EX＝只要EX＜1，就能減少驗血的工作量。例如，當p=0.1，k=2時，這時1-EX=0.92-0.5=0.31(次），若商場有員工10000人，則可減少3100次，即減少31%的工作量。

3.選擇最優存儲量

例3春節期間一商場某種食品的進價為65元/千克，零售價為70元/千克，若賣不出去，則削價20%處理，如供應短缺，有關部門每千克罰款10元。已知顧客對該食品的需求量X服從[20000，80000]上的均勻分布，求該商場在春節期間對該食品的最優存儲策略。

解:設存儲量為y，則20000≤y≤80000，存儲量為y時所得利潤為

需求量X服從均勻分布，其密度函數為

則期望利潤為

令可得y=57500，即當存儲量為57500千克時，期望利潤最大，且最大期望利潤為81250元。

4.選擇最佳進貨量

例4設某種商品每周的需求量X是服從區間[10，30]上均勻分布的隨機變量，而經銷的商場進貨數量為區間[10，30]中的某一整數．商場每銷售一單位商品可獲利500元；若供大于求則削價處理，每處理一單位商品虧損100元；若供不應求，則可從外部調劑，此時每一單位商品僅獲利300元．為使商場所獲利潤期望值不少于9280元，試確定最少進貨量。

解:設進貨量為a，利潤為Y，則利潤函數為

X的概率密度函數為

根據隨機變量函數的數學期望，有

令-7.5a2+350a+5250≥9280，

即解得在此范圍內a取最小的整數21。

以上兩個問題屬于隨機存儲模型，由于需求量是隨機變量，在知道其概率分布的前提下，構造利潤函數（它是隨機變量的函數）也是隨機變量，根據期望利潤最大，確定最佳定貨量或最佳存儲量．這類問題為隨機存儲決策提供依據。

5.總利潤最大

例5 設某商場正在與一出版社聯系訂購下一年的掛歷問題，已知的有關條件如下：零售價80元/本，掛歷的進價50/本．若當年的12月31日以后掛歷尚未售出，該商場不得不降價到20元/本全部銷售出去．根據該商場以往10年的銷售情況，可知需求概率如下:在當年12月31日以前只能售出150本、160本、170本和180本的概率分別為0.1、0.4、0.3、0.2．根據以上條件，該商場應訂購多少本掛歷，可使期望利潤最大？

解:顯然，訂購的數量應在150本至180本之間．該商場的訂購方案有150本、160本、170本和180本，且各種訂購方案的獲利都是隨機變量，記X1，X2，X3，X4分別表示這四種訂購方案所獲得的利潤。根據購進、售出的數量可得如下利潤表(單位:百元）:

各訂購方案的期望利潤分別為

根據期望利潤最大的原則，應選擇期望利潤最大的訂購方案，即訂購160本或170本．

這種決策是建立在風險中性的基礎上的，風險中性的決策者認為：1單位期望利潤等于1單位確定利潤。在銷售市場上，機會與風險并存，不愿冒風險也不可能博取高額利潤。因此，對于風險型決策往往持風險中性態度，以期望利潤最大原則進行決策．由于需求的不確定性，各種訂購方案的利潤都是隨機變量，隨機變量的期望值反映了它的平均水平，即期望利潤；隨機變量的方差反映了它取值的不確定性，因此反映了經銷的風險．在期望利潤相等（或很近似）的情況下，應選擇利潤方差（風險）最小的方案。由于訂購160本和170本的期望利潤相等，又是期望利潤最大的方案，我們應從中選擇獲利方差較小的方案。由于

EX22=2250，EX32=2262.2，

則DX2=3.24＜DX3=15.84，

所以，訂購160本掛歷是最優方案．

這類問題是根據期望利潤最大的原則進行決策，是建立在風險中性的基礎之上，也是風險型決策的前提．如果有兩個以上的方案都能夠使得期望收益達到最大，那么就應該比較收益的方差（風險），風險較小者較優．所以，在風險決策問題中，應綜合考慮收益的期望和方差，將超額收益（超過無風險收益的部分）作為承擔風險的補償，選擇最優的方案才是最合理的。

參考文獻:

茆詩松等:概率論與數理統計[M].北京:中國統計出版社，2000