分析導數在函數中的應用

摘要：導數進入了高中數學教材之后，給函數問題的研究注入了生機與活力，提供了新視角，新方法，新途徑，拓寬了我們的解題空間。本文從函數的單調性 ，函數圖像的切線，根據導數求參數的取值或范圍等幾個方面來舉例說明導數在函數中的應用。

關鍵詞：單調性 導數 切線問題 函數 應用

【中圖分類號】O13 【文獻標識碼】A【文章編號】1002-2139（2009）04-0158-01

求函數的方法很多，比如用初等方法來求值，但有時利用初等的方法會顯得比較難解，這時，我們如果用導數的思想和方法來解決這些問題，就顯得容易多了，下面我們就摘要中所提到的幾個方面來分析導數在函數中的應用.

一、利用導數分析函數的單調性[1]

單調函數是一重要函數類，現在我們看看怎樣運用導數這一工具判斷函數的單調性。

定理： 若函數f在（a、b）內可導，則f在（a、b）內嚴格遞增(或遞減)的充分必要條件是： （i）對一切χ∈（a、b），有在內的任何子區間上.

例1：設試討論函數f（χ）的單調區間

解：由于，

故當時，遞增，

時， 遞減，

本題解答中，巧妙利用導數求解，避免了傳統單調性問題中使用定義而進行的復雜運算與討論，顯得簡便快捷。

二、利用導數處理函數圖象的切線問題[2][3]

從解析幾何知道，在曲線y=f（χ）上一點處的切線，是割線PQ，當Q（χ、y）沿曲線趨進于P時的極限位置，因為割線PQ的斜率

而過點P的切線斜率k，正是割線斜率在χ→χ0.時的極限，即 由導數定義，所以曲線y=f（χ）在點P處的切線方程是

例2：求曲線在點P（2，1）處的切線方程與法線方程。

解： 由于：

所以曲線在點P的切線方程為：

由解析幾何知道，若切線斜率為k，則法線斜率為，從而過點P的法線斜率為，法線方程為：

本題如果采用常規的解方程組的方法是難以求解的，導數的幾何意義為這類問題的解決提供了新的方法和途徑。

三、根據導數求參數的取值范圍[4]

利用導數求參數的取值或范圍是中學數學的一個重要內容，它是對導數求導法則，可導函數單調性等的綜合應用。

例3：已知a為實數，若f（χ）函數在和上 都是遞增的，求a的取值范圍。

解： .因函數在和上都是遞增的.

所以在和上恒成立，則且

即：

再來看一個高考試題:

例4:已知函數，若對任意 ，f（x）