存在無風險資產的投資機會約束模型分析

[摘 要] 我們分析了當借貸利率不等的無風險資產存在時的投資機會約束規劃問題，分不同情況討論給出了該規劃問題的解析解，對現實的投資決策具有一定的參考價值。

[關鍵詞] 無風險資產 投資機會約束模型 解析解

在現實生活中，投資決策者進行投資決策時，有時會首先根據個人的實際情況確定一定的目標，要求實際收益率比某一期望收益率要大，并以該目標為約束制定相應的最優策略使風險最小。Charnes和Cooper提出，在不利情況發生時，可允許所作的決策在一定程度上不滿足約束條件，但該決策應使約束條件成立的概率不小于某一置信水平。這被稱之為投資機會約束。

假設在一個不確定的資本市場上，存在n種可交易的風險資產和一種既可借入，同時也可貸出的無風險資產。風險資產的收益率記為x1，x2…xn，將其表示為隨機向量X，X的期望為μ＝μ1，μ2，…μn，方差 cov(X)記為Σ＝(σij)，X□N(μ，Σ)分布。同時，我們設該無風險資產的貸出收益Rf1小于該無風險資產的借入成本Rf2。以n維向量ω＝(ω1，ω2，…ωn)T記在風險資產上的投資結構，即在x1，x2…xn上分配的資產比例。則整個的投資結構可以記為(ωl0，ωb0，ω1，ω2，…ωn)T=(ωl0，ωb0，ωT)T。其中ωl0，ωb0分別指在無風險資產上的貸出和借入。滿足以下約束：

ωl0-ωb0+eTω=1，其中e=(1，1，…1)T

ωl0≥0，ωb0≥0

這時的期望收益率為：

，相應的風險用方差ωTΣω表示。存在借貸利率不等的無風險資產時，投資機會約束可表示為：

prob(XTω+ωl0Rf1-ωb0f2>R)≥a

若在指定的收益率r下使投資風險ωTΣω最小，從而形成以下的規劃問題：

因為：

而服從N(0，1)，所以上式等于:，由，并記 φ-1(a)=a，則有:即投資機會約束等價于：

所以規劃問題(P1)等價于：

令A=eTΣ-1e，B=μTΣ-1e，C=μTΣ-1μ，△＝AC-B2>0，

下面我們求解規劃問題P2：

記E=ωTμ＝(ωl0Rf1-ωb0Rf2)，，機會約束意味著點(E，σ)與(0，R)連線的斜率不小于a，規劃問題P2的解取決于機會約束線RF同有效邊界Rf1M1M2N的交點。如圖:

記點(0，R)，連線的斜率為：

，

點(0，R)，連線的斜率為：

，顯然k2>k1，

若a∈，沒有交點

若a∈交點由

E=R+aσ，

的解給出：

為:

若a∈[k1，k2]，交點由

E=R+aσ，

在E∈上的解給出：

為：

因為a≥0，所以當k1≥0時，若a∈[0，k1]，交點由

E=R+aσ，的解給出

為：

利用上述討論結果，即可得到規劃問題P2的解。

本文將借貸利率不等的無風險資產引入投資機會約束模型，給出了該模型解的解析表達式，對現實的投資決策具有一定的指導意義。

參考文獻：

[1]韓其恒 唐萬生 李光泉:機會約束下的投資組合問題.系統工程學報，2002，17(1):87～92

[2]唐小我 曹長修:組合證券投資有效邊界的研究.預測.1993，12(4):35～38

[3]Merton R C. An analytic derivation of the efficient frontier. Journal of Finance and Quantitative Analysis， 1972， (9):1851～1872