插值法在漁業(yè)資源評(píng)估上的應(yīng)用

[摘 要] 本文運(yùn)用拉格朗日插值法、牛頓插值法和分段線性插值法來(lái)擬合魚(yú)類體長(zhǎng)和體重之間的關(guān)系，并比較幾種插值方法在漁業(yè)資源評(píng)估中的效果。

[關(guān)鍵詞] 插值法 漁業(yè)資源評(píng)估

一、引言

魚(yú)類等個(gè)體的生長(zhǎng)可用其長(zhǎng)度或體重增長(zhǎng)數(shù)據(jù)資料描述其生長(zhǎng)規(guī)律 ，因?yàn)闈O業(yè)生物學(xué)資料收集中這兩項(xiàng)數(shù)據(jù)最容易獲得。在海上工作時(shí)，測(cè)量體長(zhǎng)比稱體重要方便得多，而且體重會(huì)因加工而變化，但長(zhǎng)度一般卻不會(huì)。同時(shí)，與體重相比，體長(zhǎng)更不易受季節(jié)條件波動(dòng)的影響。因此，在漁業(yè)評(píng)估中 常常要對(duì)體長(zhǎng)與體重進(jìn)行換算，故擬合體長(zhǎng)與體重的關(guān)系十分必要，下面我們運(yùn)用拉格朗日插值法牛頓插值法和分段線性插值法對(duì)該問(wèn)題進(jìn)行分析研究。

二、插值法在漁業(yè)資源評(píng)估中的實(shí)例應(yīng)用及分析

由詹秉義所著《漁業(yè)資源評(píng)估漁》中得1982年北部20條灣藍(lán)圓鲹體長(zhǎng)（mm）和體重(g)的實(shí)測(cè)結(jié)果。結(jié)合各種插值法分析，在相應(yīng)的MATLAB插值程序中輸入體長(zhǎng)與對(duì)應(yīng)的體重的實(shí)測(cè)原始數(shù)據(jù)，確認(rèn)后，只要輸入相應(yīng)的體長(zhǎng)值就可以得到相應(yīng)的體重值。現(xiàn)假設(shè)求體長(zhǎng)為200mm的一尾魚(yú)的體重。

1.拉格朗日插值法

(1)節(jié)點(diǎn)內(nèi)插時(shí)

我們以200mm為中心選取對(duì)稱的實(shí)測(cè)體長(zhǎng)區(qū)間進(jìn)行插值計(jì)算（n為所取的對(duì)稱區(qū)間內(nèi)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)組數(shù)）:

用MATLAB作圖比較可得:

由運(yùn)行結(jié)果來(lái)看，并不是選擇的節(jié)點(diǎn)越多，誤差越小，從它的插值余項(xiàng)來(lái)看，余項(xiàng)的大小既與節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)的多少有關(guān)，也與函數(shù)f(x)的高階導(dǎo)數(shù)有關(guān)。即高次曲線的近似效果并不見(jiàn)得好，這就是所謂的龍格振蕩現(xiàn)象。

(2)節(jié)點(diǎn)外插時(shí)

在實(shí)測(cè)范圍中選取幾組體長(zhǎng)和體重值，預(yù)測(cè)這幾組值之外的體長(zhǎng)對(duì)應(yīng)的體重值并與真實(shí)值之間的誤差。

選取6組值作為插值節(jié)點(diǎn)（從上圖可知，n＝6時(shí)逼近效果比較好）

另外選取4個(gè)體長(zhǎng)值，運(yùn)用拉格朗日插值法預(yù)測(cè)相應(yīng)體重值，并與真實(shí)值做比較。

用MATLAB作圖比較得:

線表示根據(jù)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)畫(huà)的曲線，星星是利用朗格朗日外插法算出來(lái)的相應(yīng)體重。

可以看出與真實(shí)值的偏差原來(lái)越大，所以拉格朗日插值不適合做外插。即在選取要估測(cè)的魚(yú)的體長(zhǎng)時(shí)要慎重，只能在所測(cè)量值[min xj，max xj]（1≤j≤n）中選取，超過(guò)這個(gè)范圍進(jìn)行取值，所得結(jié)果一般是不可靠的。所以測(cè)量體長(zhǎng)時(shí)應(yīng)選擇個(gè)體差異較大的，各種體長(zhǎng)的魚(yú)盡可能都進(jìn)行測(cè)量統(tǒng)計(jì)。

2.牛頓插值法

插值節(jié)點(diǎn)選取同拉格朗日一致，節(jié)點(diǎn)內(nèi)插。

由結(jié)果來(lái)看用拉格朗日插值法和用牛頓插值法結(jié)果是一樣的。但從兩者插值多項(xiàng)式表達(dá)式上來(lái)看，拉格朗日插值要比牛頓插值復(fù)雜，且速度較慢（用于技術(shù)水平有限，還不能用程序運(yùn)行速度來(lái)比較兩者的快慢）。

3.分段線性函數(shù)插值(結(jié)點(diǎn)一定要內(nèi)插）

由運(yùn)行結(jié)果可知的體重值只與體長(zhǎng)值所在的區(qū)間 有關(guān)，無(wú)論選取多少個(gè)實(shí)測(cè)體長(zhǎng)值作為插值結(jié)點(diǎn)，不影響體重值的大小，它可以有效地避免龍格振蕩現(xiàn)象。

三、結(jié)論

通過(guò)上結(jié)面各種插值法運(yùn)行求解比較可知，在漁業(yè)資源評(píng)估中，根據(jù)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)，已知魚(yú)的體長(zhǎng)估測(cè)其體重時(shí)運(yùn)用拉格朗日插值法和牛頓插值法結(jié)果是相同的，但從其多項(xiàng)式表達(dá)式上講，牛頓插值要比拉格朗日插值簡(jiǎn)單。在運(yùn)用拉格朗日插值法時(shí)，要注意插值節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)的選擇，避免龍格現(xiàn)象，而且節(jié)點(diǎn)盡量?jī)?nèi)插，所以測(cè)量體長(zhǎng)時(shí)應(yīng)選擇個(gè)體差異較大的，各種體長(zhǎng)的魚(yú)盡可能都進(jìn)行測(cè)量統(tǒng)計(jì)，而運(yùn)用分段線性插值法則能避免龍格現(xiàn)象。

參考文獻(xiàn):

[1]石瑞民 許志剛 孫 靖:數(shù)值計(jì)算.北京:高等教育出版社，2004

[2]詹秉義:漁業(yè)資源評(píng)估[M].北京:中國(guó)農(nóng)業(yè)出版社，2000，18～25