因式分解之淺談

在初中教學(xué)中，因式分解是十分重要的，其問題變化萬千，方法靈活多樣。課本中介紹了提供因式法，運(yùn)用公式法，分組分解法和簡(jiǎn)單的十字相乘法等基本方法及解答問題的基本原則，通過添項(xiàng)、拆項(xiàng)以制造公因式或便于利用公因式。但在平時(shí)的解題過程中應(yīng)先觀察、分析問題的特點(diǎn)，不可拘一格。

一、 概念

因式分解，就是將一個(gè)多項(xiàng)式分解為幾個(gè)整式的乘積的形式，例如把a(bǔ)2-b2化為(a+b)(a-b)就是因式分解。

二、目的和要求：

1. 因式分解的結(jié)果必須是整式的乘積。例如x2-8x-9=(x+3)(x-3)-8x因結(jié)果不是整式的乘積而不是因式分解，其因式分解應(yīng)該為x2-8x-9=(x+1)(x+9)。

2. 結(jié)果中的每個(gè)因式都必須是整式。例如x2-4=x2（1-4/x2） =x2(1+2/x)(1-2/x) 因結(jié)果中有分式而不是應(yīng)式分解，其因式分解應(yīng)該為x2-4=(x-2)(x+2)。

3. 因式分解必須要分解到不能分解為止。例如x4+x2-2=(x2+2)(x2-1)因沒有分解完全而不是分解，其因式分解應(yīng)該為x4+x2-2=(x2+2)(x+1)(x-1) 。

三、 數(shù)學(xué)思想

1. 整體思想

用整體思想分解因式，就是將要分解的多項(xiàng)式中的某些項(xiàng)看成一個(gè)整體而加以分解。

分析:把（x2-1）看成一個(gè)整體，利用完全平方公式進(jìn)行分解，最后再利用平方差公式分解。

例1：把多項(xiàng)式(a+b) 2-4(a+b-1)分解因式

分析 ：此多項(xiàng)式既無公因式可提，又無公式可套用，似乎無從下手，若視(a+b)為一個(gè)整體，局部展開后就能分解。

解：(a+b) 2-4(a+b-1)=(a+b)2-4(a+b)+4=(a+b-2)2

2. 類比思想

類比思想在因式分解中的應(yīng)用很廣泛，具體表現(xiàn)在：一是因式分解與整式乘法的對(duì)比；二是因式分解與乘法的分配的對(duì)比，三是因式分解與乘法公式的對(duì)比。

例2：分解因式abx2-2abxy+aby2

分析：先提取ab， 再對(duì)比完全平方公式，即可分解。

解：abx2-2abxy+aby2=ab(x2-2xy+y2)=ab(x-y)2.

3. 轉(zhuǎn)化思想

轉(zhuǎn)化思想就是對(duì)于不能直接分解的某些多項(xiàng)式，若通過轉(zhuǎn)化，如添項(xiàng)、拆項(xiàng)等變形，則可以分解。

例3：把多項(xiàng)式. 6x(x-y)2-3(y -x)3分解因式

分析：把原多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化為6x(x-y)2-3 (x-y)3，因此公因式是3(x-y)3：

解：6x(x-y)2+3(y-x)3=6x(x-y)2-3(x-y)3=3(x-y)2[2x-(x-y)]=3(x-y) (2x+y).

4. 換元思想

將多項(xiàng)式的某些用其他字母代換，通過換元可以將復(fù)雜的多項(xiàng)式轉(zhuǎn)變成簡(jiǎn)單的多項(xiàng)式 ，將陌生的形式轉(zhuǎn)換成熟悉的形式，再分解因式。

例4：把多項(xiàng)式(x+y)(x+y+2xy)+(xy+1)(xy-1)分解因式

分析：這個(gè)多項(xiàng)式比較復(fù)雜，考慮到x+y與xy重復(fù)出現(xiàn)，利用這一點(diǎn)，可以把兩個(gè)因式換元后再分解因式。

解： 設(shè)x+y=a;xy=b，

則(x+y)(x+y+2xy)+(xy+1)(xy-1)

=a(a+2b)+(b+1)(b-1)

=(a2+2ab+b2)-1

=(a+b)2-1

=(a+b+1)(a+b-1)

=(x+y+xy+1)(x+y+xy-1)

=(x+y)(y+1)(x+y+xy+1).

四、 常用方法

1. 配方法

例5：分解因式：2x3-x2z-4x2y+2xyz+2xy2-y2z

解： 原式=(2x3-4x2y+2xy2)-(x2z-2xyz+y2z)

=2x(x2-2xy+y2)-z(x2-2xy+y2)

=(x2-2xy+y2)(2x-z)

=(x-y)2(2x-z)

2. 拆項(xiàng)法

例6：分解因式:x3-3x+2

解：原式= x3-3x-1+3

=(x3-1)-(3x-3)

=(x-1)(x2+x+1)-3(x-1)

=(x-1)(x2+x-2)

3. 添項(xiàng)法

例7：分解因式:x5+x+1

解：原式=(x5-x2)+x2+x+1

=x2(x3-1)+(x2+x+1)

=x2(x-1)(x2+x+1)+(x2+x+1)

=(x2+x+1)(x3-x2+1)

4. 主元法

例8：分解因式:2a2-b2-ab+bc+2ac

解：原式=2a2+(2ac-ab)-(b2-bc)

=2a2+(2c-b)a-b(b-c)

=(2a+b)(a-b+c)

5. 求根法

例9：分解因式:x2-y2-2x-3

6. 取零法

例10：分解因式:x2+5xy+x+3y+6y2

解：令x=0;則原式=6y2+3y=3y(2y+1)

令y=0;則原式=x2+x=x(x+1)

所以原式=(x+3y)(x+2y+1)

7. 代換法

例11：分解因式:bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)：

解：因?yàn)閎+c=(a+b)(c-a)

所以原式=bc[(a+b)+(c-a)]+ca(c-a)-ab(a+b)

=bc(a+b)+bc(c-a)+ca(c-a)-ab(a+b)

=b(a+b)(c-a)+c(c-a)(a+b)

=(a+b)(b+c)(c-a)

8. 特值法

例12：分解因式:a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b)

解：因?yàn)楫?dāng)a=b和a=c時(shí)，都有原式等于0，所以a-b，a-c都是原多項(xiàng)式的因式，同理b-c也是原多項(xiàng)式的因式，又因?yàn)槿味囗?xiàng)式至多有三個(gè)因式，故可設(shè)原式＝k(a-b)(b-c)(c-a)，令a=0，b=1，c=-1，可求得k=-1，所以原式=-(a-b)(b-c)(c-a)=(a-b)(b-c)(a-c)

9. 倒數(shù)法

例13：分解因式:6x4+5x3-38x2+5x+6

)

10. 待定系數(shù)法

例14：分解因式:2x2-7xy+6y2+2x-y-12

解：因?yàn)?x2-7xy+6y2=(x-2y)(2x-3y)，所以可設(shè)原式=(x-2y+m)(2x-3y+n)=2x2-7xy+6y2+(2m+n)x-(3m+2n)y+mn，

所以 比較兩邊系數(shù)，得:

2m+n=2；

3m+2n=1;

mn=-12;

解得:

m=3，n=-4，故原式＝(x-2y+3)(2x-3y-4)

11. 方法的選擇

對(duì)于二項(xiàng)式，通常先考慮是否可用平方差進(jìn)行因式分解，若不能，則可以考慮用添項(xiàng)法來求解；對(duì)于三項(xiàng)式，通常先考慮用完全平方公式或x2+(p+q)x+pq型式子的因式分解法，若上述方法行不通，則考慮用拆項(xiàng)法或添項(xiàng)法分解因式；對(duì)于四項(xiàng)式，通常考慮用分解法；對(duì)于比較復(fù)雜的多項(xiàng)式，可綜合考慮一些特殊的方法，如換元法。在實(shí)際做題中要靈活運(yùn)用，不可生搬硬套。

（通渭縣華家?guī)X梁家學(xué)校）