例談巧用代換法求解力學(xué)問(wèn)題

在求解力學(xué)問(wèn)題時(shí)，經(jīng)常會(huì)碰到一些難以解決的問(wèn)題。舉一個(gè)簡(jiǎn)單的例子：人用10m/s的速度扔出1kg的石塊，人扔石塊做了多少功？有學(xué)生看到求功，立刻聯(lián)想到W=Fs，但扔石塊是個(gè)瞬間過(guò)程，力和位移均屬未知，無(wú)法由此得到答案。假如轉(zhuǎn)換一個(gè)角度，考慮到石塊獲得動(dòng)能是人對(duì)它做功的結(jié)果，那么，由動(dòng)能定理即得W= mv =50J。人做的功，通過(guò)石塊動(dòng)能增量的代換便求到了。由此可見(jiàn)，若兩個(gè)物理量之間有相等的數(shù)量關(guān)系，通過(guò)計(jì)算一個(gè)量便可得到另一個(gè)不能算出或較難算出的量，這種方法便叫做“代換法”。代換可以是直接代換，也可以是間接代換。它是很有用的解題方法。

一般說(shuō)來(lái)，它的應(yīng)用大致有以下幾種情況：

一、一個(gè)無(wú)法計(jì)算的量用另一個(gè)可計(jì)算的量代換

在解決物理力學(xué)問(wèn)題時(shí)，有些物理量是無(wú)法直接計(jì)算出來(lái)的。如恒力做功可用公式W=Fscosa求解，但如果是變力做功，即力的大小、方向在做功過(guò)程中發(fā)生了變化，就很難套用公式了。所以我們必須得用另一個(gè)可計(jì)算的量來(lái)代換變力所做的功，依照物理規(guī)律通過(guò)技巧的轉(zhuǎn)化間接求解。

【例1】一輛汽車(chē)通過(guò)下圖中的細(xì)繩提起井中質(zhì)量為M的物體。開(kāi)始時(shí)，車(chē)在A點(diǎn)，繩子已經(jīng)拉緊且是豎直的，左側(cè)繩長(zhǎng)為H。提升時(shí)，車(chē)加速向左運(yùn)動(dòng)，沿水平方向從A經(jīng)過(guò)B駛向C。設(shè)A到B的距離也為H，車(chē)經(jīng)過(guò)B點(diǎn)時(shí)的速度v。求在車(chē)由A移到B的過(guò)程中，繩Q端的拉力對(duì)物體做的功。(設(shè)繩和滑輪的質(zhì)量及摩擦不計(jì)，滑輪的尺寸不計(jì)。)

【解析】這是一道求變力做功的問(wèn)題。由于車(chē)在移動(dòng)過(guò)程中繩Q端的拉力在變化，不能直接用公式W=Fscosa求解，這時(shí)可將繩Q端的拉力對(duì)物體做的功用機(jī)械能的變化來(lái)代換。汽車(chē)和重物構(gòu)成連接體，取重物作為研究對(duì)象。

由于左邊繩端和車(chē)具有相同的水平速度v，v可分解成沿繩方向的垂直于繩方向的兩個(gè)分速度，如圖所示，可得?

這是一個(gè)直接代換的例子。

二、一個(gè)難計(jì)算的量由另一些易計(jì)算的量代換

解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是要找出這個(gè)難計(jì)算的量與那些容易計(jì)算的量之間的關(guān)系。通常要求我們要熟悉物理規(guī)律和公式，能靈活運(yùn)用，融會(huì)貫通。

這是應(yīng)用“黃金代換”的一個(gè)例子。

三、一個(gè)復(fù)雜的過(guò)程量用易計(jì)算的狀態(tài)量代換

解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是要弄清題中的物理現(xiàn)象和過(guò)程，用容易計(jì)算的狀態(tài)量來(lái)代換復(fù)雜的過(guò)程量。這樣，對(duì)復(fù)雜過(guò)程中一直在發(fā)生變化的位移、時(shí)間、速度等就不用分析，化繁為簡(jiǎn)，化難為易。

【例3】質(zhì)量為m、帶電荷-q的小物體處在場(chǎng)強(qiáng)為E的向右的勻強(qiáng)電場(chǎng)中（下圖），它沿水平面ox運(yùn)動(dòng)時(shí)受摩擦力恒為f，且f＜qE。小物體運(yùn)動(dòng)中與o處的墻碰撞時(shí)不損失機(jī)械能，電量保持不變。問(wèn)：它從坐標(biāo)為x的A處以向右的初速v起動(dòng)后，直到停止前一共通過(guò)的路程s是多少？

【解析】 電荷因受向左的電場(chǎng)力，且有qE＞f，所以不斷與墻碰撞并在ox上不斷往返，雖然碰墻不損失機(jī)械能，但因克服摩擦做功還是要消耗機(jī)械能，因而往返路程不斷遞減。由于過(guò)程復(fù)雜，用累加求和的辦法來(lái)求路程s是比較困難的。

我們想到摩擦力f是個(gè)定值，全部路程上摩擦力做的功便是W =fs，求得過(guò)程量W ，便可求得s。

因?yàn)閝E＞f，小物體最后只有停在o處才能取得力的平衡。比較物體前后狀態(tài)易知它在全過(guò)程中損失動(dòng)能 和靜電勢(shì)能qU =qEx。顯然這兩部分能量通過(guò)摩擦力做功的形式轉(zhuǎn)變成了物體的內(nèi)能。

本題是間接代換的典型例子。

四、兩個(gè)量的差由別的量來(lái)代換

在解決物理問(wèn)題中，有些涉及的物理量不能直接算出，但我們可用代換法將它們轉(zhuǎn)換成另外的物理量，應(yīng)用物理規(guī)律的數(shù)學(xué)等式求解。

【例4】（選擇題）汽車(chē)在拱形橋上從A勻速率地運(yùn)動(dòng)到B(下圖)。那么（?搖?搖）

① 汽車(chē)所受合外力為零。

② 汽車(chē)所受合外力做的功為零。

③ 牽引力做的功等于克服摩擦阻力做的功。

④ 牽引力做的功等于重力勢(shì)能的增量。

【解析】要判別兩項(xiàng)功是否相等，常用的辦法便是看其差值是否為零。但在③所說(shuō)到的兩項(xiàng)功都無(wú)法直接計(jì)算。此時(shí)，我們便要想到“代換法”。

汽車(chē)A從B到的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，受牽引力F、重力G、摩擦力f和彈力N的作用而保持勻速率運(yùn)動(dòng)。根據(jù)動(dòng)能定律，應(yīng)有W

物理學(xué)中的許多規(guī)律常可寫(xiě)成數(shù)學(xué)等式，這些規(guī)律便成為用代換法解題的基礎(chǔ)。所以用代換法解題最要緊的便是弄清題中的物理現(xiàn)象和過(guò)程，以便選擇合適的規(guī)律來(lái)進(jìn)行等值代換。

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文。”