應用圖象法巧解物理問題

物理圖象具有明確的物理意義和豐富的信息，它可以直觀形象地揭示物理規律及物理量間的相互依賴關系，應用圖象分析求解某些物理問題可達到化難為易、化繁為簡的目的。在物理高考的能力要求中就有一項“應用數學工具解決物理問題的能力”，因此有必要時應用圖象法求解物理問題可使問題迎刃而解。

一、熟悉圖象

應用圖象法分析求解某些物理問題前先要熟悉圖象。物理圖象是直觀地反映物理量之間關系的一種數學方法，具有明確的物理意義，圖象中包含有豐富的信息，能直觀地表示物理狀態和過程。高中物理教材中有很多處涉及圖象，重要的有：運動學中s-t圖象、v-t圖象，振動圖象x－t圖象，波動圖象s-x圖象等；電學中的電場線分布圖象、磁感線分布圖象、等勢面分布圖象，交流電圖象、電磁振蕩圖象I-t圖等；還有氣體圖象p-v圖象、v-T圖象、p-T圖象等。在實驗中也涉及不少圖象，如驗證牛頓第二定律時要用到a-F圖象、a－1/m圖象，用“伏安法”測電阻時要畫出I-U圖象，測電源電動勢和內阻時要畫U-I圖象等。在各類習題中圖象問題也是頻頻出現，更有些圖象是教材中未曾出現過的，如力學中F-t圖象、P-t圖象，電磁振蕩中的q-t圖象，電磁感應中的Φ-t圖象、E-t圖象等。

二、理解圖象

無論應用到哪種圖象分析和求解物理問題，單熟悉是不夠的，必須要深入理解，搞清圖象所揭示的物理規律或物理量間的函數關系，如會寫出圖象所表示的函數，認識坐標軸的意義，清楚圖象斜率的意義，知道圖象在坐標軸上截距的意義，理解圖線下所圍“面積”的意義等。例如v-t圖象中，其斜率表示加速度a，圖線與t軸間的面積表示位移s；對s-t圖象，其斜率表示速度v；又U-I圖象中，如圖1所示，OB的斜率表示外電阻，AC斜率的絕對值表示電源的內阻。AC與縱軸上的截距表示外電路斷路時的路端電壓（開路電壓），其值等于電源的電動勢E，AC與橫軸上的截距表示外電路短路時的電流（短路電流）I= 。

三、應用圖象

(一)應用圖象法巧解其它方法能求解的物理問題

有些物理題不一定要求用圖象法求解，采用其它方法同樣能夠解決。但是應用圖象法解題思路清晰，而且在很多情況下可使解題過程得到簡化，達到化難為易、化繁為簡的目的，比解析法更巧妙、更靈活。

例1.在光滑的水平軌道上有兩個半徑都是r的小球A和B，質量分別為m和2m，當兩球之的距離大于l（l比2r大得多）時，兩球之間無相互作用力；當兩球之間的距離等于或小于l時，兩球間存在相互作用的恒定斥力F，設A球從遠離B球處以速度v 沿兩球連心線向原來靜止的B球運動，如圖2所示，欲使兩球不發生接觸，v 必須滿足什么條件？

解析：以A向B接近到A、B球之間的距離等于l時為初始時刻（t=0），分別作A和B的v-t圖線，如圖3所示。圖線A和

本例可用牛頓定律和運動學公式求解，或用動量守恒定律和動能定理求解；也可設經時間t后A追上B，由s +2r=s +l，得到t的一元二次方程，再由判別式△＜0求解。上述圖象法直觀明了，別具一格。

例2.質量為2kg的物體在恒力F作用下，從靜止開始運動，已知物體所受恒力F與位移s的關系是F=2s，那么，當位移為2m時，物體的速度多大？

解析：作出物體的F-s圖象，如圖4所示，根據圖線下所圍“面積”表示F做的功，可知W= ×2×4J=4J。由動能定

本題中物體受力及運動加速度都是變化的，可以利用平均力計算F的功，也可以利用平均加速度來求解，但顯然沒有利用圖象求解來得直接、直觀。

例3.如圖5甲所示，A、B為水平放置的平行金屬板，板間距離為d（d遠小于板的長和寬）。在兩板之間有一帶負電的質點P。已知若在A、B間加電壓U ，則質點P可以靜止平衡。

現在A、B間加上如圖乙所示的隨時間t變化的電壓U， 在t=0時質點P位于A、B間的中點處且初速度為0 ，已知質點P能在A、B之間以最大的幅度上下運動而又不與兩板相碰，求圖乙中U改變的各時刻t 、t 、t 及t 的表達式。（質點開始從中點上升到最高點，及以后每次從最高點到最低點或從最低點到最高點的過程中，電壓只改變一次。）

解析：本題如果用常規解法求解，步驟較繁瑣，可以結合質點運動的v-t圖象分析質點的運動過程。

認真分析所提供的圖象，分析質點的受力特點和運動特點，從而搞清質點的運動過程，借助v-t圖象，使復雜的過程得以簡化。

（二）應用圖象法巧解其它方法難以求解的物理問題

有些物理問題用其它方法難以求解，而用圖象法分析則能迎刃而解，出奇制勝。

例4.如圖7所示，物體從h高處由靜止開始滑下，第1次經過光滑斜面AB滑至底端的時間為t ，第2次經過光滑曲面

解析：物體沿斜面下滑做勻加速直線運動，其v-t圖象可定性地描述為圖8中的圖線1。沿曲面下滑時，由a=gsinα，可知開始階段物體的加速度比在斜面上的加速度大，即圖線的斜率大，后來減小，且小于在斜面上的加速度，即圖線的斜率小。注意到兩個運動中機械能都守恒，由mgh= mv ，得物體到達底端的速率相等，又路程相等，即圖線下的面積相等，物體沿曲面下滑的圖象可定性地描繪為圖8中的圖線2。由圖可知，應選A。

物體沿曲面做的是變加速運動，物理過程較復雜，難以建立方程求出運動時間t ，運用 v-t圖線進行定性分析，則能順利比較t 、t 的大小。需要指出的是，本例的v-t圖象是速率圖象，圖線下的面積表示路程，不表示位移。

例5.一定質量的理想氣體在標準狀態下的體積為V ，分別經過3種不同的過程：

⑴溫度不變，體積變為2V 再等容加熱使其壓強恢復到1atm，共吸收熱量Q ；

⑵壓強不變，體積變為2V ，共吸收熱量Q ；

⑶體積不變，壓強減小到0.5atm，再等壓膨脹到2V ，而后保持體積不變，加熱使其恢復到1atm，共吸收熱量Q 。

關于Q 、Q 、Q 的大小，以下結論正確的是（?搖?搖）。

解析：作出題給3種不同狀態變化過程的P-V圖象，如圖9所示，圖中a→b→c表示第1種過程（ab為雙曲線），a→c表示第2種過程，a→d→b→c表示第3種過程，由圖8可知，3種過程的末狀態相同，且比初狀態的溫度升高，氣體內能增量△E相等；氣體體積增大，對外界做功，設此功為W。根據能量守恒定律，氣體吸收的熱量Q=△E+W。由于p-V圖象中圖線與V軸間的面積表示為W，由相應面積的大小關系可知W＞W＞W ，所以Q ＞Q＞Q ，應選D。

中學階段難以計算氣體狀態變化過程中吸收熱量的大小，但我們利用p-V圖象對各過程的氣體做功情況進行了定性的比較，并借助能量守恒定律順利解答了本例，可見圖象法解題的巧妙。

由以上可以看出，在有些情況下運用解析法可能無能為力，但是圖象法則會使你豁然開朗，可見圖象法求解物理問題的巧妙之處。

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。”