哥尼斯堡七橋問題在高考中應用

摘 要：在數學教學和學習過程中把抽象、概括和具體化結合起來是非常重要的。哥尼斯堡七橋問題就是很好的一個例子。

關鍵詞：哥尼斯堡七橋 一筆畫 抽象

18世紀，東普魯士哥尼斯堡有條普萊格爾河，這條河有兩個支流，在城中心匯成大河，市內有七座各具特色的大橋，連接島區和兩岸。每到傍晚或節假日，許多居民來這里散步，觀賞美麗的風光。年長日久，有人就提出這樣的問題：能否從某地出發，經過每一座橋一次且僅一次，然后返回出發地？

思考方法：數學中的圖論，最早就開始于哥尼斯堡七橋總問題。這個問題很長一段時間沒有得到解決。1735年，有幾名大學生寫信給歐拉，請他幫助解決。歐拉經過反復思索，敏銳地看到，整個問題與所走路程無關；而且，整個島區與河岸無非就是橋梁的連接地點。因此，歐拉把兩個島和河兩岸抽象為四個點，把七座橋抽象為七條線。這樣，七橋問題便抽象為能否一筆畫出圖的問題。

大數學家歐拉解決這一問題的思維程序是：

歐拉在此基礎上概括出一筆畫的理論問題，證明了一個網絡是一筆畫的充要條件為：它連通并且奇次點個數等于0或2（一個點是奇次的；如果與該點關連的邊是奇數條）。

數學家歐拉找到一筆畫的規律是：

1. 凡是由偶點組成的連通圖，一定可以一筆畫成。畫時可以把任一偶點為起點，最后一定能以這個點為終點畫完此圖。

2. 凡是只有兩個奇點的連通圖（其余都為偶點），一定可以一筆畫成。畫時必須把一個奇點為起點，另一個奇點終點。

3. 其他情況的圖都不能一筆畫出。(有偶數個奇點除以二便可算出此圖需幾筆畫成。)

能否一筆畫是由圖的奇、偶點的數目來決定的。

比如附圖：（a）為（1）情況，因此可以一筆畫成；（b）（c）（d）則沒有符合以上兩種情況，所以不能一筆畫成。

一筆畫問題是一個簡單的數學游戲，即平面上由曲線段構成的一個圖形能不能一筆畫成，使得在每條線段上都不重復？例如漢字“日”和“中”字都可以一筆畫的，而“田”和“目”則不能。

歐拉的一筆畫理論在最近的高考中非常常見。有些問題用其它方法可能不是那么容易，但用了一筆畫理論就簡單得多。

下圖是2008年北京奧運會的會徽，其中的“中國印”由四個色塊構成，可以用線段在不穿越其他色塊的條件下將其中任意兩個色塊聯接起來（如同架橋），如果用三條線段將這四個色塊聯接起來，能有多少種不同的聯接方法？

實際上聯接方法的多少與色塊的度量關系及絕對位置無關，只與色塊的相對位置相關，我們可以將色塊聯想為平面內的四個點，則問題化歸為“用三條線段將四個點聯接成一個整體，有多少種聯接方法？”見圖（二），結果為16種，這正是大數學家歐拉解決哥尼斯堡“七橋問題”的思想方法，體現著問題解決者的數學能力和數學素養；體現著問題解決者鮮明的時代特點。

2008年上海春季招生數學高考試卷第10題就是一道充分利用一筆畫理論去求解的考題。題目：古代“五行”學說認為：“物質分金、木、土、水、火五種屬性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金。”將五種不同屬性的物質排成一列，設事件A表示“排列中屬性相克的兩種物質不相鄰”，則事件A出現的概率是（結果用數值表示）_________：

仔細思考，要組成滿足條件的數，實際上只需從五個頂點中的任一個頂點的數字出發，按隔一位的路線走下去，最后回到原來出發點，這樣一條線路上的五個數字正好構成滿足條件的一個五位數，也就是用一筆畫畫五角星的一條路徑所經過的五個頂點上的數字構成的五位數，如圖6從數字1出發，按路徑1→4→2→5→3→1及逆向路徑1→3→5→2→4→1所得到兩個滿足條件的五位數14253和13524，這樣可以從五個不同頂點出發，共可組成10個，所以事件A的概率為P(A)=■。

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。”