初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽中的數(shù)字特點(diǎn)問(wèn)題

初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽中的許多試題都與數(shù)字特點(diǎn)有關(guān)，常見(jiàn)的有以下幾種：

一、末位數(shù)字

根據(jù)整數(shù)的末位數(shù)字可以判斷整數(shù)的整除性以及是否為完全平方數(shù)或連續(xù)自然數(shù)的乘積。

例1已知（a-2111） +（2112-a） =2113，求（a-2111）（a-2112）的值。

解：∵（a-2111） +（2112-a）

=［（a-2111）+（2112-a）］ -2（a-2111）（2112-a）

=1 +2（a-2111）（a-2112）

=2113

∴（a-2111）（a-2112）

= （2113-1）

=1056

=33×32

接著可以求出a=2144。

例2方程1+1×2+1×2×3+…+1×2×3×…×x=y +5的正整數(shù)解x=?搖?搖?搖?搖，y=?搖?搖?搖?搖。

解：x=1時(shí)，1=y +5，無(wú)實(shí)數(shù)解。

x=2時(shí)，3=y +5，無(wú)實(shí)數(shù)解。

x=3時(shí)，9=y +5，y=2。

當(dāng)x≥4時(shí)，前4項(xiàng)的和為33，后面的項(xiàng)均為10的倍數(shù)，故個(gè)位數(shù)一定為3，所以y +5是奇數(shù)，y 是偶數(shù)。偶數(shù)的平方的個(gè)位只能是0、4或6，所以y +5的個(gè)位數(shù)只能是5、9或1，因此，y無(wú)解，故只能是x=3，y=2。

二、各位數(shù)字和

根據(jù)整數(shù)的各位數(shù)字和可以判定數(shù)的整除性以及是否有可能為完全平方數(shù)。

例3有一個(gè)60位整數(shù)，其中有30位是1，另外30位是0。求證：這一個(gè)數(shù)不是完全平方數(shù)。

證明：因?yàn)檫@個(gè)數(shù)的各位數(shù)字之和為30，而30是3的倍數(shù)但不是9的倍數(shù)，根據(jù)數(shù)的整除性判斷法則，這個(gè)數(shù)本身是3的倍數(shù)但不是9的倍數(shù)。

不妨設(shè)此數(shù)為3N，其中N是不含因數(shù)3的正整數(shù)，那么它的算術(shù)平方根為，不論N是否為完全平方數(shù)，均不可能為整數(shù)，所以這個(gè)數(shù)一定不是完全平方數(shù)。

三、循環(huán)節(jié)

根據(jù)循環(huán)小數(shù)的循環(huán)節(jié)，可以確定某些相關(guān)數(shù)值。

例4已知a為整數(shù)，且滿足0

解：因?yàn)?=0. 4285

=0. 8571

=0. 2857

=0. 7142

=0. 1428

=0. 5714

由上可知，這7個(gè)真分?jǐn)?shù)化為循環(huán)小數(shù)后，它們的循環(huán)節(jié)的數(shù)字完全相同，只是排列位置不同，每個(gè)循環(huán)節(jié)的各位數(shù)之和為1+4+2+8+5+7+1=28。

設(shè)前若干位的位數(shù)為6N+r，其中N，r都是整數(shù)，r滿足0≤r＜6，那么這7個(gè)循環(huán)小數(shù)的前6N位數(shù)字之和當(dāng)N取任意正整數(shù)是都相同，而且是28的倍數(shù)，所以后r位數(shù)字之和為20，這樣，就要求 的循環(huán)節(jié)的前r位數(shù)字之和為20，經(jīng)過(guò)計(jì)算，只有 的循環(huán)節(jié)的前5從位數(shù)字之為20，所以a=1。

如果把2008變?yōu)?016，則a的值不能確定，還有多種情況下，若干位數(shù)字之和變?yōu)槠渌鼣?shù)字時(shí)，a的值不能確定，有興趣的讀者可以自行研究。

此外，數(shù)字的特殊結(jié)構(gòu)也是解決某些競(jìng)賽題的突破點(diǎn)，限于篇幅，本文未予專題研究。

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文。”