如何做好數(shù)學(xué)分析習(xí)題課的設(shè)計(jì)

摘要： 本文就數(shù)學(xué)分析習(xí)題課的設(shè)計(jì)從三個(gè)側(cè)面進(jìn)行了分析和設(shè)計(jì)。

關(guān)鍵詞： 數(shù)學(xué)分析習(xí)題課 主題習(xí)題課 探究性習(xí)題課 討論式習(xí)題課

數(shù)學(xué)教育本質(zhì)上是一種素質(zhì)教育。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的目的，不僅僅在于學(xué)到一些數(shù)學(xué)的概念、公式和結(jié)論，更重要的是要了解數(shù)學(xué)的思想方法和精神實(shí)質(zhì)，真正掌握數(shù)學(xué)這門(mén)學(xué)科的精髓。只有這樣，所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)才不至淪為一堆僵死的教條，變得似乎毫無(wú)作用，才能做到觸類(lèi)旁通，在現(xiàn)實(shí)世界中提出的種種問(wèn)題面前顯示出無(wú)窮無(wú)盡的威力，終身受用不盡。

要做到這一點(diǎn)單靠教師把課講好是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，只有調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和主動(dòng)性，促使他們自覺(jué)地接受頻繁、充分而又嚴(yán)格的數(shù)學(xué)訓(xùn)練，才能使他們真正走進(jìn)數(shù)學(xué)，獲得切身的體會(huì)，從而加深對(duì)數(shù)學(xué)的理解。這些數(shù)學(xué)訓(xùn)練的內(nèi)容，在大學(xué)學(xué)習(xí)階段，包括復(fù)習(xí)、做習(xí)題、閱讀參考書(shū)，相互切磋、參加學(xué)術(shù)報(bào)告及與數(shù)學(xué)有關(guān)的的實(shí)驗(yàn)活動(dòng)等等。其中，在認(rèn)真復(fù)習(xí)的基礎(chǔ)上做好習(xí)題，是和課堂教學(xué)聯(lián)系最直接和緊密的，同時(shí)也最利于經(jīng)常實(shí)施和長(zhǎng)期堅(jiān)持的一項(xiàng)重要數(shù)學(xué)訓(xùn)練。多講不如多練，對(duì)于數(shù)學(xué)這樣一門(mén)注重思考的學(xué)科，情況更是如此。教師講課再好，也代替不了學(xué)生自己的思考和領(lǐng)悟，只有通過(guò)嚴(yán)格的訓(xùn)練，使學(xué)生手腦并用，才能啟迪心智，推動(dòng)思維，使認(rèn)識(shí)不斷深入。

由于解題在訓(xùn)練數(shù)學(xué)思維方面極具重要性，開(kāi)設(shè)必要課時(shí)的習(xí)題課，這對(duì)保證和提高教學(xué)質(zhì)量是一個(gè)頗有成效的培養(yǎng)方式。關(guān)于習(xí)題課，許多教師理解為講解課后練習(xí)題。事實(shí)上這是一種片面的理解，這種將課后習(xí)題由教師包攬的方式，會(huì)嚴(yán)重阻礙學(xué)生養(yǎng)成積極動(dòng)腦思考的良好習(xí)慣，因?yàn)閷W(xué)生在學(xué)習(xí)了基本概念和理論之后，有部分學(xué)生總會(huì)惰于思考課后習(xí)題或是隨便一看不會(huì)做就丟到一邊，他們總認(rèn)為教師會(huì)給他們講這些習(xí)題，這樣就阻礙了學(xué)生對(duì)知識(shí)理解的深入。但是，我們知道如果不通過(guò)動(dòng)手做大量練習(xí)題，那么就不能獲得解決問(wèn)題的思想和方法，這樣所學(xué)知識(shí)就變成概念和定理的堆砌而見(jiàn)不到數(shù)學(xué)分析之靈魂。那么怎樣才能提高學(xué)生解決問(wèn)題的能力呢？除了學(xué)生自己積極動(dòng)手動(dòng)腦做大量習(xí)題外，教師對(duì)解題思想和方法的引導(dǎo)也是很關(guān)鍵的。這也是學(xué)生迫切要求的。因?yàn)楹芏鄬W(xué)生尤其是該門(mén)課程的初學(xué)者都很有體會(huì)，讀書(shū)能讀懂、做題不會(huì)做，或者知道題目意思卻寫(xiě)不出嚴(yán)格的解答與證明。正因如此，上好數(shù)學(xué)分析課，做好數(shù)學(xué)習(xí)題的分析，努力提高數(shù)學(xué)分析的質(zhì)量，具有特別重要的意義。有關(guān)設(shè)計(jì)筆者以為可以考慮以下幾個(gè)方面：

一、主題習(xí)題課

主題習(xí)題課可以參考教科書(shū)的課后練習(xí)題及教材中的例題，對(duì)一些方法、技巧比較強(qiáng)的題目加以整理或歸納。作為習(xí)題課的選材，課本習(xí)題都是經(jīng)過(guò)專(zhuān)家們多次篩選后的精品，我們?cè)诹?xí)題課的題目選編中，應(yīng)優(yōu)先考慮課本中的例題與習(xí)題，并且對(duì)其進(jìn)行適當(dāng)?shù)耐厣睢⒀葑儯幹埔活}多解、一題多變、一題多用、多題一法的習(xí)題，提高學(xué)生靈活運(yùn)用知識(shí)的能力，使其源于教材，又不拘泥于教材。另一方面，不能完全變成例題的堆砌，例子要典型，使學(xué)生觸類(lèi)旁通。這一類(lèi)型習(xí)題課充分展現(xiàn)了教師提出問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的全過(guò)程。尤其是拿到一道題應(yīng)該如何下手分析、所使用的方法、技巧是如何想到的、是由哪些理論支持的，等等，這些問(wèn)題情景的創(chuàng)設(shè)與作業(yè)難度是分不開(kāi)的，由于習(xí)題課所選例題有作業(yè)題的考慮因素，所以要難易適度。

主題習(xí)題課要注意問(wèn)題的層次性。學(xué)生首先都是作為具體的、活生生的個(gè)體而存在的，我們?cè)O(shè)計(jì)問(wèn)題時(shí)必須明確肯定學(xué)生認(rèn)識(shí)活動(dòng)的個(gè)體特殊性，這種特殊性不僅表現(xiàn)在已有知識(shí)的差別，也表現(xiàn)在學(xué)習(xí)的動(dòng)機(jī)等方面，所以設(shè)計(jì)問(wèn)題必須有層次性。所謂層次性，指的是問(wèn)題里面含有各種各樣的小問(wèn)題，有淺、中、難適合各層次學(xué)生的需要，從而形成一連串的問(wèn)題鏈，淺層次的記憶性問(wèn)題可供單純的機(jī)械模仿，較深層次的問(wèn)題可用來(lái)掌握和鞏固新知識(shí)，高層次的問(wèn)題可供用來(lái)引導(dǎo)學(xué)生知識(shí)的遷移和應(yīng)用。既要?jiǎng)?chuàng)設(shè)舞臺(tái)讓優(yōu)特生表演，發(fā)展其個(gè)性，又要重視給后進(jìn)生提供參與的機(jī)會(huì)，使其獲得成功的喜悅。否則，將會(huì)使一大批學(xué)生受到“冷落”，喪失學(xué)好數(shù)學(xué)的信心。題目安排可從易到難，形成梯度，雖然起點(diǎn)低，但最后要求較高，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，使得后進(jìn)生不至于“陪坐”，優(yōu)生也能“吃得飽”，使全體同學(xué)都能得到不同程度的提高。

教師一定要注重對(duì)學(xué)習(xí)方法的指導(dǎo)，并且在教學(xué)中要恰當(dāng)控制學(xué)生動(dòng)機(jī)激起程度，在講較簡(jiǎn)單例題時(shí)要盡量使學(xué)生集中注意力，使學(xué)生盡量緊張一點(diǎn)；而在學(xué)習(xí)較復(fù)雜較困難的課程時(shí)，盡量創(chuàng)造輕松自由的課堂氣氛，在學(xué)生遇到困難或出現(xiàn)問(wèn)題時(shí)要盡量心平氣和地慢慢引導(dǎo)，以防學(xué)生過(guò)度緊張和焦慮。所選例題在分析、講解思路方法后，教師要誘導(dǎo)和啟發(fā)學(xué)生共同寫(xiě)出嚴(yán)格而完整的解答和證明過(guò)程，為后來(lái)學(xué)生練習(xí)和做題的書(shū)寫(xiě)作出榜樣。這樣通過(guò)反復(fù)多次的嚴(yán)格訓(xùn)練，使學(xué)生在做題和書(shū)寫(xiě)上規(guī)范化，不僅能促進(jìn)學(xué)生的知識(shí)、技能的獲得，還能端正學(xué)生的學(xué)習(xí)態(tài)度和養(yǎng)成良好的習(xí)慣。

通過(guò)主題習(xí)題課的學(xué)習(xí)，要求學(xué)生掌握的理論知識(shí)的具體運(yùn)用和思想方法以及解題技能往往是明確的，要讓這些知識(shí)和方法技能能夠變成學(xué)生自己的東西并且運(yùn)用自如，關(guān)鍵還要靠學(xué)生課后多做練習(xí)題。只靠課本上的練習(xí)題是不夠的，教師還要借助參考書(shū)籍補(bǔ)充一些練習(xí)題，最好能給學(xué)生配備一些優(yōu)秀的書(shū)籍，使學(xué)生在做題訓(xùn)練中多思考，從而促進(jìn)學(xué)生的學(xué)習(xí)遷移。

二、探究性習(xí)題課

探究性習(xí)題課是在一定的知識(shí)背景范圍內(nèi)提出問(wèn)題然后研究性地解決。這類(lèi)習(xí)題課與主題習(xí)題課區(qū)別不大，但重視學(xué)習(xí)的過(guò)程，啟發(fā)學(xué)生進(jìn)行自覺(jué)的概括；能夠發(fā)展學(xué)生的探究精神，強(qiáng)調(diào)引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)自己的積極探索，自行總結(jié)解決問(wèn)題的方法和策略，使學(xué)生學(xué)會(huì)如何學(xué)習(xí)。一個(gè)問(wèn)題的好壞，不在于它產(chǎn)生的效果一定有多大的實(shí)用價(jià)值，而在于在該問(wèn)題實(shí)施的過(guò)程中是否具有探索性，能否讓學(xué)生更深入地挖掘問(wèn)題深處的內(nèi)涵，能否對(duì)問(wèn)題進(jìn)行重新思考，從而能夠提出新的問(wèn)題。

數(shù)學(xué)分析微分中值定理這部分內(nèi)容的理論知識(shí)很有連貫性，四個(gè)中值定理可以一氣呵成地教給學(xué)生，而之后就一定要配套一定課時(shí)量的習(xí)題課。因?yàn)檫@部分內(nèi)容的一個(gè)教學(xué)難點(diǎn)就是用輔助函數(shù)解決問(wèn)題的方法，那么習(xí)題課的設(shè)計(jì)就要以突破這一難點(diǎn)為目的，可以以回顧復(fù)習(xí)lagrange中值定理的證明（幾何方法）為引子，設(shè)計(jì)幾個(gè)難度適宜但又有梯度的相關(guān)例子，通過(guò)對(duì)例子的分析探究以及已有l(wèi)agrange中值定理的證明，最終提升為解決這一類(lèi)問(wèn)題的統(tǒng)一方法，即操作性很強(qiáng)的一種方法，這樣做既突破了教學(xué)中的難點(diǎn)，又教給學(xué)生一種可操作的解決一類(lèi)問(wèn)題的方法，這樣的習(xí)題課是很受學(xué)生歡迎的。

在探究性習(xí)題課過(guò)程中，教師要注重通過(guò)創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情景對(duì)學(xué)生一步一步地啟發(fā)、開(kāi)導(dǎo)，最好讓學(xué)生自己得出結(jié)論，并且要及時(shí)檢查學(xué)生的掌握情況，教師要充分發(fā)揮主導(dǎo)作用。

三、討論式習(xí)題課

討論式習(xí)題課是教師或?qū)W生在某一方面提出問(wèn)題，然后討論這個(gè)問(wèn)題，通過(guò)對(duì)這個(gè)問(wèn)題的討論把出現(xiàn)的問(wèn)題歸納總結(jié)再解決，這個(gè)過(guò)程要充分體現(xiàn)教師的主導(dǎo)作用和學(xué)生的主體位置。

教師啟發(fā)學(xué)生進(jìn)行自覺(jué)概括和歸納的最常用方法是鼓勵(lì)學(xué)生主動(dòng)參與問(wèn)題的討論。在討論時(shí)，不僅要鼓勵(lì)學(xué)生主動(dòng)提出問(wèn)題，而且要鼓勵(lì)他們主動(dòng)解答問(wèn)題。在討論初期，學(xué)生提出的問(wèn)題可能不著邊際，回答方式也未必完美，那就說(shuō)明學(xué)生對(duì)所討論的原理中包含的概念尚缺乏了解，對(duì)所學(xué)原理尚缺少一部分起點(diǎn)行為，教師必須在設(shè)法補(bǔ)充后，繼續(xù)討論。在討論的過(guò)程中，教師應(yīng)從旁輔導(dǎo)，但不宜代替學(xué)生匆匆做出結(jié)論。簡(jiǎn)言之，在概括過(guò)程中，教師應(yīng)充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的思維，讓他們自己去歸納和總結(jié)。

比如在關(guān)于數(shù)列發(fā)散問(wèn)題的證明問(wèn)題，本來(lái)數(shù)列收斂“e-d”的定義就不易理解，那么該命題的否定發(fā)散就更難理解了。那么這個(gè)難點(diǎn)如何突破？關(guān)于數(shù)列發(fā)散的證明，教科書(shū)上的例題采用了從數(shù)列收斂的定義出發(fā)，用對(duì)偶法則給出數(shù)列{a_n}發(fā)散的定義來(lái)證明。這種方法講解之后，學(xué)生可能理解不深刻。之后還學(xué)習(xí)了判定數(shù)列發(fā)散的一些方法，這些內(nèi)容學(xué)完之后就可以安排一小節(jié)討論式習(xí)題課，針對(duì)判定數(shù)列發(fā)散的方法做一個(gè)小結(jié)，將以前用發(fā)散的定義做的難解題目再次拿出來(lái)進(jìn)行討論，采用參與式教學(xué)。這個(gè)過(guò)程要注重由教師控制全局，使得結(jié)果盡可能全面。通過(guò)學(xué)生的討論和整理可以得到五種基本方法，這些方法哪些可以用證明這道題目，證明的嚴(yán)格過(guò)程怎樣？是否還有其它方法？這些都是討論的內(nèi)容。在這個(gè)過(guò)程中通過(guò)討論和學(xué)生的回答問(wèn)題，既可以達(dá)到討論的目的，又是對(duì)學(xué)生已有知識(shí)掌握情況的一次檢驗(yàn)。討論過(guò)程中有些學(xué)生可能還會(huì)提出用反證法來(lái)做，那么順其自然就讓學(xué)生自己動(dòng)手做，這樣結(jié)果就會(huì)更全面。假如學(xué)生沒(méi)有提出該種方法，教師也要啟發(fā)學(xué)生用反證法，因?yàn)檫@種方法很常用，是一些命題在沒(méi)辦法正面解決時(shí)的一種好辦法。

通過(guò)一節(jié)討論式習(xí)題課，學(xué)生所學(xué)的概念更清晰，知識(shí)結(jié)構(gòu)也更加完整，更重要的是通過(guò)一題多解的訓(xùn)練和學(xué)生討論式的參與使學(xué)生分析問(wèn)題，解決問(wèn)題的能力提高了，那么難點(diǎn)也就不難了。

四、結(jié)語(yǔ)

關(guān)于數(shù)學(xué)分析習(xí)題課的設(shè)計(jì)，以上三種類(lèi)型在某種意義上沒(méi)有嚴(yán)格的界限，一次習(xí)題課可以多種類(lèi)型并存。對(duì)習(xí)題課要引起充分的重視，衡量一堂習(xí)題課的教學(xué)效率如何，主要看學(xué)生學(xué)習(xí)知識(shí)、掌握技能、形成能力和提高認(rèn)識(shí)效果。數(shù)學(xué)只有契合學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)系統(tǒng)才能真正走進(jìn)學(xué)生的心里，數(shù)學(xué)習(xí)題課的實(shí)質(zhì)與精髓就是教師對(duì)習(xí)題材料的處理上能發(fā)揮習(xí)題的正常功能，能充分調(diào)動(dòng)學(xué)生主體的積極參與，將學(xué)生所學(xué)的知識(shí)“外化”，并通過(guò)“外化”這一形式將知識(shí)“內(nèi)化”，也就是建構(gòu)在原有的知識(shí)基礎(chǔ)之上。這是一堂習(xí)題課成功與否的關(guān)鍵。而學(xué)生思維能力和積極動(dòng)手動(dòng)腦的習(xí)慣的養(yǎng)成也離不開(kāi)高質(zhì)量的習(xí)題課。教師要不斷充電學(xué)習(xí)，習(xí)題課是充分展示教師能力的課，只有多鉆研專(zhuān)業(yè)知識(shí)，多思考、多動(dòng)手，才能拿出高質(zhì)量的習(xí)題課。廣大數(shù)學(xué)教師應(yīng)重視習(xí)題課的設(shè)計(jì)，提高習(xí)題課的教學(xué)質(zhì)量。