單級倒立擺建模及其控制方法設(shè)計

摘要：單級倒立擺控制是一個即復(fù)雜而又對準確性、快速性要求很高的非線性不穩(wěn)定系統(tǒng)控制問題。單級倒立擺數(shù)學(xué)模型的建立對研究其穩(wěn)定性具有指導(dǎo)作用。用拉格朗日功能平衡法建立了倒立擺的剛體動力學(xué)方程，采用了LQR法對其進行了控制設(shè)計，并且進行了MATLAB仿真，結(jié)果表明此方法均可以成功控制倒立擺，使其穩(wěn)定并具有良好的魯棒性。

關(guān)鍵詞：MATLAB；倒立擺；動力學(xué)方程；LQR最優(yōu)控制

中圖分類號：TP399文獻標識碼：A文章編號：1009-3044(2008)35-2283-01

Modeling and Design of Single Inverted Pendulum Control System

YU Zi-song， NA Wen-peng

(Electronic and Information Engineering Institute of Liaoning University of Technology， Jinzhou 130012， China)

Abstract: The single inverted pendulum control system is an inherent instable nonlinear and complex dynamic system which needs high accuracy and speed. The mathematical model of the single inverted pendulum plays an important role in the research of its stability. Using the Lagrange method to get the dynamic equation of the single inverted pendulum and realizing the control of it with LQR theory. The result of the simulation with MATLAB proves that this method could make the single inverted pendulum stable and the system of the single inverted pendulum processing good robustness.

Key words: MATLAB; Inverted pendulum; Dynamic equation; LQR optimal control

1 引言

倒立擺是典型的快速、多變量、非線性、絕對不穩(wěn)定系統(tǒng)。早在20世紀50年代，麻省理工學(xué)院(MIT)的控制論專家就根據(jù)火箭發(fā)射助推器原理設(shè)計出一階倒立擺實驗設(shè)備，此后其控制方法和思路在軍工、航天、機器人領(lǐng)域和一般工業(yè)過程中都有著廣泛的用途，如機器人行走過程中的平衡控制、火箭發(fā)射中的垂直度控制、衛(wèi)星發(fā)射架的穩(wěn)定控制、飛機安全著陸、化工過程控制以及日常生活中所見的任何重心在上、支點在下的控制問題等，均涉及到“倒立擺問題”。事實上，人們一直在試圖尋找不同的控制方法來實現(xiàn)對倒立擺的控制，以便檢查或說明該方法對嚴重非線性和絕對不穩(wěn)定系統(tǒng)的控制能力。

本文討論了基于MATLAB的一階倒立擺的LQR最優(yōu)控制，并且通過改變擺桿長度和質(zhì)量檢驗了系統(tǒng)的魯棒性同時運用MATLAB進行了仿真。結(jié)果表明LQR最優(yōu)控制法可以使倒立擺穩(wěn)定并具有很好的魯棒性。

2 倒立擺控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

將擺桿視為剛體，則單級倒立擺的參數(shù)為：小車質(zhì)量M，擺桿質(zhì)量m，擺桿長度L，重力加速度g，小車位置x，擺桿角度θ，作用在小車上的驅(qū)動力F。K1 為小車的動能，K2 為擺桿的動能，P為倒立擺系統(tǒng)的勢能。拉格朗日函數(shù) L=K1+K2-P 當小車在水平方向運動時，忽略摩擦力，可得系統(tǒng)動力學(xué)方程。

其中，F(xiàn)i為變量xi的非有勢主動力；Ti為變量θi的非有勢主動力矩。

假設(shè)θ很小，sinθ≈θ，cosθ≈1 則式(3)、(4)變?yōu)椋?/p>

3 一階倒立擺的LQR最優(yōu)控制器設(shè)計

設(shè)小車質(zhì)量M=1.0 kg，擺桿質(zhì)量m=0.1kg，擺桿長度L=0.5m，重力加速度g=9.8m/s2。控制指標共有4個，即單級倒立擺的擺角θ，擺速，小車位置x和小車速度。將倒立擺運動方程轉(zhuǎn)化為狀態(tài)方程的形式。令x(1)=θ， x(2)=， x(3)=x， x(4)=，則方程(5)和方程(6)可表示為狀態(tài)方程=Ax+Bu。

式中，，

其中。根據(jù)干擾抑制理論和反復(fù)嘗試，確定加權(quán)函數(shù)由泛函解得u(t)=-Kx(t)，K=R-1BTP。其中：{A，B}能控；{A，Q1/2}能觀測，P滿足方程PA+ATP+Q-PBR-1BTP=0，得最優(yōu)調(diào)節(jié)系統(tǒng)動態(tài)方程為：=[A-BK]x，此系統(tǒng)為大范圍漸近穩(wěn)定的。經(jīng)MATLAB仿真可看出LQR最優(yōu)控制是可行并有效的。

為檢驗該控制系統(tǒng)的魯棒性能，還可以改變一下倒立擺的部分參數(shù)，例如改變倒立擺的質(zhì)量，擺桿長度或小車的質(zhì)量。筆者通將小車質(zhì)量，擺桿質(zhì)量和長度分別增加10%后對該系統(tǒng)進行了MATLAB仿真，響應(yīng)結(jié)果圖為圖3，由圖3可看出LQR最優(yōu)控制法具有很好的魯棒性。

4 結(jié)束語

一階倒立擺控制系統(tǒng)的設(shè)計可由多種方法和理論來實現(xiàn)其系統(tǒng)的穩(wěn)定控制，如自適應(yīng)，狀態(tài)反饋，模糊控制和智能控制等。本文采用了LQR最優(yōu)控制，由仿真結(jié)果可知此法能使一階倒立擺穩(wěn)定并具有很好的魯棒性。通過LQR的設(shè)計，可以使我們學(xué)習(xí)和掌握現(xiàn)代控制理論中的穩(wěn)定，能觀，能控，以及最優(yōu)設(shè)計等諸多概念。同時對于實現(xiàn)其他不穩(wěn)定系統(tǒng)的控制本文也由一定的借鑒價值。

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