有理Ｂéｚｉｅｒ曲線表示圓弧的權因子計算

摘要：在基于非均勻有理B樣條（NURBS）方法的計算機輔助設計系統中，經常采用有理Bézier曲線表示圓弧。文中給出了運用冪指數型權因子的有理Bézier曲線表示圓弧的方法。采用Bernstein基函數及其系數來選取權因子，使得生成的曲線可以更加接近控制多邊形，結合幾何作圖的方法計算出構造圓弧的個控制頂點的權因子中 αi 的值，求解方法方便簡單并且具有幾何直觀性，實用，符合CAGD的要求。

關鍵詞：有理Bézier曲線；圓??；權因子；局部形狀參數

中圖分類號：TP391文獻標識碼：A文章編號：1009-3044(2008)35-2207-03

Methods for Calculating the Weights of Rational Bézier Curve Representing Circular Arcs

ZHANG Lin-zhong， ZHU Xiao-lin

(Hefei University of Technology Department of Mathematics， Hefei 230009，China)

Abstract: Based on the non-uniform rational B-spline (NURBS) method of computer-aided design systems， often used， said arc rational Bézier curve. In this paper， the use of the power-index weights of rational Bézier curves that arc. Bernstein-use factor and its function to select the right factor， making the curve can be generated closer control polygons， combined with the geometric method of mapping out the circular structure of a vertex of the right to control αi factor in the value of simple and convenient method Geometry has an intuitive， practical， with the CAGD.

Key words: rational Bézier curve;arc;weight;Local shape parameters

圓弧在CAD/CAM中有著廣泛的應用，有理Bézier曲線能準確的表示圓錐曲線，克服了Bézier曲線和B樣條曲線只能近似的表示圓弧的缺點，因而廣泛應用于CAD/CAM中。在有理Bézier曲線中，如何有效的對曲線的形狀進行控制是CAGD的主要問題，目前對曲線的形狀控制主要通過兩種途徑：基于控制頂點的形狀修改和基于形狀參數的形狀修改。但如何有效的選取權因子一直沒有得到較好的解決，文獻[1]中給出兩種有效的權因子選取方法：權系數極大化方法和冪指數型權因子方法，其中冪指數型權因子方法中以作為權因子，文獻指出使用 ai 的效果比使用 wi 的效果更為突出，并且采用這種權因子后，更能突出Bernstein基函數的作用，表示形式上和Bézier曲線更為接近。文獻[2]中給出了三次NURBS曲線表示圓弧的充要條件；文獻[3-4]中給出了三次NURBS曲線表示圓弧的方法，文獻[5]中給出了四次有理Bézier曲線表示圓弧的方法。但這些文獻中用到的權因子不是采用冪指數型權因子方法，本文為了體現冪指數型權因子方法的優越性，采用作為權因子表示圓弧，使得生成的曲線可以更加接近控制多邊形。

1 有理Bézier曲線的表示

給定控制頂點Pi，i=0，1，2...n 及相應的權因子 按這種方式選取權因子，就只需要控制局部形狀參數 αi 的取值，就可以控制曲線的形狀，而且通過這種方法既保持了一般有理權因子的局部可調性(如圖1)，又能使形狀調整的效果更加明顯(如圖2)。

圖1局部形狀參數的局部控制圖2 局部形狀參數 αi 對曲線的影響圖

N次有理Bézier曲線為：

2 圓弧的四次有理Bézier曲線表示

給定控制頂點Pi，i=0，1，2...n 及相應的權因子，則四次有理Bézier曲線為：

(1)

合理的選取局部形狀參數αi 的取值和控制頂點 Pi 使得：

（2）、（3）代入（1）得：

(4)

顯然（4）式的曲線具有如下性質：

由于圓弧具有對稱性，令α1=α3 ，則（4）式可表示為：

(5)

由（2）、（3）得：

由（5）知圓弧的中點M為：(8)

從而可以判定M位于線段 P1P3 的中點上，有（2）（7）（8）進一步得到：

(9)

所以M位于線段 P0P4 的中點N與頂點 P2 的連線上，并且

(10)

通過上面的分析，可以按照文獻5中幾何作圖法構造出圓弧的控制頂點Pi(i=0，1，2，3，4) （如圖3）。

圖3中滿足：

代入（6）得： (11)

由（11）、（7）得： (12)

結果和（10）相吻合，說明構造方法可行。

按照文獻5中的方法可以分別求出各個頂點的局部控制因子αi 的值能構造出圓弧曲線，但不能反映出冪指數權因子方法中的保形性好的優越性。如果令有理Bézier曲線中各個頂點的局部控制因子αi≡1 ，即為Bézier曲線，若需要得到圖3中的圓弧曲線，只需要將頂點P2 移至P2' 處（如圖4，*線表示αi≡1 時得到的圓弧曲線，實線表示圖3中的圓弧曲線），這樣圓弧與控制多邊形更加接近，更能體現冪指數權因子方法中的保形性好的優越性。

3 結論

根據Bernstein基函數及其系數來選取有理Bézier曲線的權因子可使有理Bézier曲線更好保持控制多邊形的形狀，能更有效的調整曲線的形狀，文中采用冪指數型權因子方法繼承了Bernstein多項式的良好幾何逼近性質，通過控制局部形狀參數αi 來控制曲線，這種方法比一般的權因子的作用更加突出，保形性更好。文中采用冪指數型權因子方法實現圓弧的構造（圓心角的范圍是[-π，π] ），控制局部形狀參數αi 的大小僅與圓心角的大小有關，一旦圓弧確定，控制局部形狀參數αi 也就可以唯一確定。求解方法方便簡單、穩定，便于實際應用。

參考文獻:

[1] 韓旭里，肖鳴宇.有理Bézier曲線權因子的有效形式[J].工程圖學學報，2005(1):57-60.

[2] 泰開懷，關右江.圓弧曲線的三次NURBS表示[J].計算機學報，1995，18(2):146-152.

[3] Piegl，Tiller W. A Menagerie of Rational B-splines.IEEE CGA，1989，9(5):48-56.

[4] 范勁松，安軍，徐宗俊.用三次NURBS表示圓弧與整圓的算法的研究[J].計算機輔助設計與圖形學學報，1997，9(5):391-395.

[5] 王偉成，姚云.用四次有理Bézier曲線表示圓弧與圓[J].北京服裝學院學報，2000，20(2):61-64.