無紅利給付下的看漲期權套利方案

[摘 要] 期權產品的出現是我國金融市場發展的必然趨勢，大量學者對期權的各個方面進行了深入的數學研究。本文撇去高深的數學，先簡單的介紹如何判斷看漲期權價格有失偏頗，從而從其中獲得套利機會，然后介紹了具體的套利操作，并對各種情況下的利潤進行的比較，具有較強的現實意義。

[關鍵詞] 看漲期權 套利 期權組合

一、研究對象及相關假設

按照期權相關合約的買進和賣出性質劃分，期權可以劃分為看漲期權(call）、看跌期權(put），本文的研究對象是看跌期權(call)。期權按交割時間分為美式期權和歐式期權，本文所闡述的套利方案在美式，歐式期權下可以運用。

套利方案的實行必須有完備的市場條件，必須符合下列假設:市場上有大量期權的買者和買者，可以自由交易；市場參與者可以賣空，可以相同的無風險利率借入或貸出資金;在期權有效時間內，無紅利給付。

二、期權套利機會的發現

我們知道影響期權價格的因素有:股票價格s，時間t，無風險利率r，紅利δ，浮動率σ，執行價格k。看漲期權價格表示為C(S，K，t)，我們知道對于看漲期權，股價在期權責任開始后價格越高，期權的內涵價值越高；執行價K越大，則期權的價格越低，所含的內涵價值也越低，即C(S，K，t)>C(S，Ker(T-t)，t)（其中S，Ker(T-t)>K）；在無紅利條件下，期權行使時間t越長，其期權的價格也會越高，即C(S，K，T)>C(S，K，t)（其中T>t）。若市場上出現違背上述等式的期權出現，意味著套利機會的出現。

然而市場是很復雜的，當多個因素同時變動時，我們應該如何發現微小的套利機會呢？我們知道了C(S，K，T)>C(S，K，T)（其中T>t），也知道隨著K的增大，期權價格會增加，但是在一定的上升空間內，仍然存在微小的套利機會。我們假設兩個因素都發生了變化，期權C(S，K，t)的執行價從K變成了Ker(T-t)，即變成C(S，Ker(T-t)，T)，其中(Ker(T-t)>K，T>t），如果C(S，K，t)的價格仍然大于C(S，K，Ker(T-t)，T)，則存在套利機會。任何執行價小于Ker(T-t)的期權C(S，T)都存在套利機會，都可以從下列方案進行套利。

三、看漲期權的套利操作

看漲期權(C)C(S，Ker(T-t)，T)的價格低于C(S，K，t)，那么C(S，K，t)價格就貴了，此時我們應該賣掉貴的C(S，K，t)，買入價格較低的C(S，Ker(T-t)，T)（T>t）。首先我們可以獲得期權費的差價C(S，K，t)－C(S，Ker(T-t)，T)。在從買賣期權的0時點起，隨著時間的推移，我們可以做如下操作：

1.在時間t，如果此時的價格St≤K，購買方不會要求你以高價K賣給他市場價格更低的為St的股票，故此時C(S，K，t)失效，不會給你帶來損失。到時間T，你對期權C(S，Ker(T-t)，T)只有權利而沒有責任，所以在T時刻注定沒有損失。若T時刻的股票價格ST≤K，則可以放棄權利，不會造成任何損失；若T時刻的股票價格STfK，則還可以獲得ST-K的溢價。

2.在時間t，如果此時的價格StfK，那么購買你賣出的C(S，K，t)的買者肯定會向你購買C(S，K，t)，這時你借入股票St平倉，賣出借來的股票St后，得到數額為K的資金，存入銀行，銀行的利率為r。在時間T，存入的資金變為Ker(T-t)，此時：

(1)如果ST≤Ker(T-t)，以ST的價格買入借來的股票，歸還t時刻借來的股票。還會獲得Ker(T-t)-ST的溢價。

(2)如果STf Ker(T-t)，以事先規定的執行價格Ker(T-t)買入股票歸還t時刻借來的股票，不會造成任何損失。

四、操作結果分析

1.各個階段的損益。以上操作按時間的順序的將各個階段的損益總結于下圖，最后的利潤就是各個階段損益的積累，具體如下圖：

2.總損益。分別將A、B、C、D方案的總損益按時間價值積累于期末時間T，經過計算和簡化，得到下表：

在期末，A，B，C，D都能獲得期權的價差所帶來的收益；B還能獲得正的ST-K的溢價；C能獲得正的Ker(T-t)-ST的溢價。

參考文獻:

[1]John.C Hull.Options，Futures and other derivatives，4th edition

[2]R.L.McDonald，Derivatives Markets (Second Edition)， 2006

[3]Abraham Weishaus，Financial Economics， first edition

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