戶外廣告牌抗臺風能力的數學模型

[摘 要] 在分析戶外廣告牌風荷載的基礎上，通過計算廣告牌結構上的靜態風荷載和脈動風荷載，利用隨機振動理論和正態分布法建立了廣告牌的風動響應模型和抗風可靠度數學模型。對如何根據實際情況合理設計廣告的結構體系，提高其抗風能力，構建了一個比較完善的計算方法。

[關鍵詞] 風荷載 風動響應 可靠度 數學模型

一、引言

隨著科學技術與經濟的發展，越來越多的戶外廣告牌呈現出體型結構的高大化、復雜化和柔性化的趨勢，其結構材料也朝著高強、輕質的方向變化，使得廣告牌對風的敏感性越來越強。浙江省作為一個沿海省份，在歷年的臺風過程中，戶外廣告牌損毀的現象比較嚴重.從損毀形式看，主要有以下幾種情形:(1)廣告牌結構橫截面或構件的內力達到（超過）設計極限，在一次臺風過程中斷裂、失穩或倒塌;(2)廣告牌結構因長時間疲勞累積損傷，引起后續性結構破壞，至使不能正常工作;(3)廣告牌架上的面板或裝飾材料損毀。

因此，如何合理設計戶外廣告牌的框架和外形結構體系，降低廣告牌承受的風荷載，提高其抗臺風能力的可靠度，顯得尤為重要。

二、問題的分析與模型的建立

在進行戶外廣告牌抗風能力研究時，通常實測到的是風速，但在廣告牌工程設計過程中要考慮的是廣告牌在臺風（強風）過程中承受的風壓，因此，在研究中需要把風速轉換成風壓。一般地，臺風（強風）可根據作用形式分解成不隨時間變化的平均風和隨時間變化的脈動風兩部分，它們對廣告牌結構產生平均風荷載和脈動風荷載等，當然，廣告牌承受的風荷載不僅與近地風的性質、風速、風向有關，也與廣告牌的高度、形狀和地表狀況等相關。

根據20世紀60年代A·G·Davenport提出風振理論，在我國的相關建筑規范中，給出了相應結構表面在高度 處的風荷載的計算公式：

（1）

其中，Wz為風荷載的標準值(KN/m2）;μs為風荷載體型系數; A為廣告牌迎風投影面積;P為空氣密度(hPa);(hpa);V(z，t)為來流風速(m/s）。

在不同地域，根據氣候環境和地形地貌的變化，空氣密度p可按文獻中的公式計算。

根據貝努利方程知，若某地比較空曠平坦地面上離地10m高統計所得的50年一遇10min平均最大風速為V0(m/s），則當地的基本風壓為:

（2）

隨著廣告牌高度和體型的變化，在不同高度z處，臺風(強風)對廣告牌產生的風壓也是不斷變化的，因此若用表示Cw(z)為高度z處單位高度上的力系數，其中

Cw(z)=μs·A(3）

則廣告牌在高度z處的風荷載又可以簡單地表示為：

（4）

從式(1)可以看出，廣告牌風荷載不僅和臺風(強風)的風速相關，同時與廣告牌的風荷載體型系數以及廣告的迎風投影面積相關。

1.平均風荷載和脈動風荷載的計算

若將風速V(z，t)分解為平均風速(z)和脈動風速v(z，t)，即

V(z，t)=(z)+v(z，t)（5）

將式(5)代入式(4)得

（6）

相對于平均風(z)而言，脈動風v(z，t)<<(z)，忽略二階小量，得

在高度z處平均風(z)作用于廣告牌的平均風荷載為:

（7）

在高度z處脈動風v(z，t)作用于廣告牌的脈動風荷載為:

（8）

由式(7)、(8)可知，式(4)可近似地表示為

（9）

脈動風荷載的均方根為：

（10）

其中，，為沿高度z的來流湍流度。

2.體型系數的計算

廣告牌在高度 處的風荷載除與臺風的風速密切相關外，同時與廣告牌的風荷載體型系數和廣告牌的迎風投影面積相關。其中，風荷載體型系數指風在廣告牌表面引起的實際壓力或吸力與來流風壓的比值，因此，廣告牌在高度 處的體型系數可簡單表示為：

（11）

由于廣告牌各面上各點的風壓比值并不相等，為了計算簡化，在廣告牌高度 處的體型系數，當測點布置比較均勻時，可記為

（12）

因此，如何合理改當前常見的平面面析結構為弧線性結構，保證在相同表面積大小的前提下，減少廣告牌的迎面投影面積和廣告牌正面受風力作用的強度，是一個重要的研究課題。

3.廣告牌的風動響應和可靠度模型

在平均風荷載的作用下，廣告牌產生靜力變形，此時廣告牌的平均風動響應可根據靜力方程求解：

（13）

其中、、分別表示廣告牌的剛度矩陣、平均風動響應矩陣和平均風荷載矩陣。

在脈動風壓的作用下，廣告牌可以看做是一個多自由度的質點桿體系，此時廣告牌的脈動風振動可以利用脈動風有限元動力方程模型求解：

MS0+CS0+KS=F （14）

其中，M、C、K分別為廣告牌的質量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣；S為廣告牌的風動響應矩陣；F為脈動風荷載矩陣，它的第 i個元素為μs(zi)A(zi)ω（zi，t），其中μs(zi)、A(zi)、ω（zi，t）分別為高度zi處的體型系數、迎風面積和脈動風荷載。

根據式(13）、(14)可以建立廣告牌的風動響應模型：

S(t)=+sd(t)（15）

其中，S(t)、、sd(t)分別表示廣告牌的總風動響應，平均風動響應和脈動風動響應。

當廣告牌結構在臺風(強風(作用下，其風動響應超越規范規定的限值(安全界限)的概率在規定的范圍之內時，才是安全的。設廣告牌在建立時(t=0)處于可靠狀態，那么隨機過程x(t)在時間 (0，T]內不超過界限x=b的概率為

Ps(b)=P{X(T)≤b，0

等價于求首次超越破壞時間Tf的概率分布函數，即

Ps(b)=1-P{Tf≤t，0

利用正態分布理論，可以建立廣告牌在一次強風作用下的動力可靠度模型為：

（18）

其中F(W0)為一次強風的10min最大平均風壓的概率密度函數。

為了計算方便，將式（18）作離散化處理，則可建立模型為：

（19）

其中F(P)為一次強風的10min最大平均風壓的概率分布，m是將平均風壓劃分的等級數。

如果在某一地區時間(0，T]內發生強風次數為k次的概率為Pk(t)，那么廣告牌在設計基準期T內抗風的動力可靠度模型為:

（20）

一般地，Pk(t)服從于普阿松分布，即

（21）

其中υ表示單位時間內強風發生的平均次數，在實際計算過程中，單位時間長度可設為1a。

將式（21）代入式（20），整理得廣告牌結構在風載作用下破壞的概率為

（22）

三、結論

本文通過分析廣告牌的風荷載構成，建立了廣告牌的風動響應模型，以及廣告牌的抗風可靠度數學模型，對如何合理設計廣告的框架和外形結構體系，提高其抗臺風（強風）能力構建了一個比較完善的數學模型，為實際問題的抗風設計有較為重要的指導意義。

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