基于最小叉熵計(jì)算ＶａＲ的模型

[摘要] 本文借助信息理論中的相對(duì)熵的概念和意義，應(yīng)用最小相對(duì)熵原理給出一種新的計(jì)算VaR的非參數(shù)方法。

[關(guān)鍵詞] 在險(xiǎn)價(jià)值（VaR） 最小相對(duì)熵原理

一、引言

目前，金融資產(chǎn)市場風(fēng)險(xiǎn)（也包括信用風(fēng)險(xiǎn)和操作風(fēng)險(xiǎn)）的通用度量工具為Value at Risk（VaR，一般被稱為“風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值”或“在險(xiǎn)價(jià)值”），早在1994年由JP Morgan公司提出，在幾個(gè)巴塞爾協(xié)議形成后，用VaR作為金融風(fēng)險(xiǎn)度量的一種有力工具，受到普遍關(guān)注，盡管VaR在概念上有缺點(diǎn)（不具有次可加性），但是目前仍是業(yè)界應(yīng)用最廣泛，影響最大的一種風(fēng)險(xiǎn)度量方法。

影響VaR計(jì)算的主要因素是：樣本容量、置信水平，以及風(fēng)險(xiǎn)變量的分布函數(shù)。前兩者受主觀因素的影響，因人而異，所以VaR方法的核心在于描述金融時(shí)間序列的統(tǒng)計(jì)分布或概率密度函數(shù)。本文將從歷史數(shù)據(jù)入手，介紹一種應(yīng)用最小相對(duì)熵估計(jì)未知分布求VaR的方法。

二、準(zhǔn)備知識(shí)

定義1：風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值指: 在正常市場條件下和一定的置信水平a上，測算出風(fēng)險(xiǎn)變量X在給定的時(shí)間段內(nèi)預(yù)期發(fā)生的最壞情況的損失大小。這里風(fēng)險(xiǎn)變量X 除了表示市場風(fēng)險(xiǎn)外，還可以表示：(1)金融資產(chǎn)或金融組合的收益－損失或利潤；(2)較高或較低的頻率收益；(3)操作損失；(4)重大災(zāi)難的保險(xiǎn)索賠；(5）信任損失等。

風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值（VaR）模型在數(shù)學(xué)上的嚴(yán)格定義如下：設(shè)X 是描述證券組合損失的隨機(jī)變量，F(xiàn)(x)是其概率分布函數(shù)，置信水平為a，則：。

例如，某一投資公司持有的證券組合在未來一天內(nèi)，置信度為95%，證券市場正常波動(dòng)的情況下，VaR值為200萬元。其含義是指，該公司的證券組合在一天內(nèi)，由于市場價(jià)格變化而帶來的最大損失超過200萬元的概率為5%，平均20個(gè)交易日才可能出現(xiàn)一次這種情況。或者說有95%的把握判斷該投資公司在下一個(gè)交易日內(nèi)的損失在800萬元以內(nèi)5%的幾率反映了金融資產(chǎn)管理者的風(fēng)險(xiǎn)厭惡程度可根據(jù)不同的投資者對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的偏好程度和承受能力來確定。

定義2：設(shè)離散隨機(jī)變量X的概率分布律為:，，隨機(jī)變量X的熵為:，P是一個(gè)列向量。其連續(xù)形式也是人們一般稱的微分熵（differetial entropy）:

，其中f(x)是概率密度函數(shù)。

定義3：叉熵（Cross entropy，也叫 Kullback-Leibler散度或相對(duì)熵（Relative entropy））：指隨機(jī)變量X的叉熵為:，其中為待求的概率分布，而為先驗(yàn)概率分布(故有且)。

倘若我們希望所選的概率分布，除滿足原有的約束條件外，還應(yīng)盡量靠近一個(gè)先驗(yàn)概率分布，則需要依據(jù)最小叉熵原理來解決。最小叉熵原理可表達(dá)為下述數(shù)學(xué)規(guī)劃問題：

（1）

其中為待求的概率分布，是優(yōu)化問題的變量;而為先驗(yàn)概率分布(故有且)，在優(yōu)化過程中僅作為參數(shù)對(duì)待。

最小化函數(shù)，起到使這種偏離盡可能小的作用。因此，根據(jù)最小叉熵原理所求得的概率分布，是在服從已知信息(矩約束)下的最接近先驗(yàn)分布的一組概率分布。1980年Shore 和Johnson證明了在矩約束下的最小相對(duì)熵可以惟一地確定一個(gè)嚴(yán)格的、不變的、一致的密度函數(shù)，說明最小相對(duì)熵原理，是在服從已知信息條件下，找最接近先驗(yàn)分布的一組概率分布，這使得這種方法被廣泛應(yīng)用于各個(gè)領(lǐng)域，幾乎在所有的學(xué)術(shù)刊物上都可看到熵的名字。

下面計(jì)算一下最小叉熵優(yōu)化問題(1)的解，構(gòu)造問題(1)的拉格朗日函數(shù)：

(2)

因這個(gè)問題是一個(gè)變量可分離的凸規(guī)劃，它的全局最優(yōu)解可由駐值條件和概率歸一化條件得:（3）

三、模型的建立

設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)風(fēng)險(xiǎn)變量，它的未知累積分布函數(shù)為F(X)，，則，其中表示累計(jì)分布的逆函數(shù)。假設(shè)這里的是單調(diào)的、嚴(yán)格遞增、絕對(duì)連續(xù)、非負(fù)的概率測度，相應(yīng)的X的密度函數(shù)為f(x)，則傳統(tǒng)的矩條件為:，其中。假設(shè)由已知數(shù)據(jù)已經(jīng)估計(jì)出先驗(yàn)的VaR值，則應(yīng)用最小叉熵原理有:

，其中是樣本矩的值。

四、結(jié)論

本文考慮到影響VaR計(jì)算的三個(gè)因素，提出利用已知的信息，借助最小相對(duì)熵來估計(jì)密度函數(shù)再求VaR的方法。由于投資者主要考慮最大限度的損失是多少，所以對(duì)金融風(fēng)險(xiǎn)的關(guān)注主要是極端事件，但極端事件的數(shù)據(jù)比較少，難于采集，所以考慮應(yīng)用最小叉熵原理，得到最接近客觀實(shí)際的一種估計(jì)，盡量減少由于信息缺乏而導(dǎo)致的誤差及計(jì)算偏差。

參考文獻(xiàn):

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