經濟訂貨批量模型及其擴展

[摘要] 本文對經典的經濟訂貨批量模型進行了擴展，分別建立了考慮購買貨物本身費用的模型和不允許缺貨的生產銷售存貯模型，得出了最優的生產訂貨計劃。

[關鍵詞] 存貯模型 經濟訂貨批量 生產銷售存貯模型

存儲管理是企業生產經營管理的一個重要環節，是降低成本提高企業經濟效益的有效途徑和方法。著名的經濟訂貨批量公式（EOQ公式）在實際生活和工作中得到了廣泛的應用，尤其是在超市、物流等領域。存儲模型主要分為不允許缺貨和允許缺貨兩大類，本文在這兩類模型的基礎上，根據實際生產工作的需要，做了一些擴展，以期為企業的庫存決策提供一定的依據。

一、不允許缺貨的存貯模型

該模型最早由F.W.Harris提出，后來Wilson把其結果納入存貯管理系統方面做了積極工作。它適用于一旦出現缺貨會造成重大損失的情況（如煉鐵廠對原料的需求）。

先考慮這樣的問題：配件廠為裝配線生產若干種部件，輪換生產不同的部件時因更換設備要支付生產準備費(與生產數量無關)，同一部件的產量大于需求時要付貯存費。現已知某一部件的日需求量是100件，生產準備費5000元，貯存費是每日每件1元。如果生產能力遠大于需求，并且不允許出現缺貨，試安排該產品的生產計劃，即多少天生產一次，每次產量多少，可使每天平均費用最小。

為了處理的方便，考慮連續模型，即設生產周期和產量為連續量。根據問題的性質做如下假設：1產品每天的需求量為常數r；2每次生產準備費為，每天每件產品貯存費為;3生產能力為無限大（相對于需求量），當貯存量降到零時，件產品立即生產出來供給需求，即不允許缺貨。

將貯存量表示為時間的函數，顯然，一個周期內的貯存費是，于是一周期的總費用為：，每天的平均費用為:。利用微分法得到最優解為:。

這就是經濟學中著名的經濟訂貨批量公式（EOQ公式）。由上式可以看到，當準備費增加時，生產周期和產量都變大；當貯存費增加時，生產周期和產量都變小；當日需求量增加時，生產周期變小而產量變大。

二、允許缺貨的存貯模型

在某些情況下用戶允許短時間的缺貨，雖然會造成一定的損失，但是如果損失費不超過不允許缺貨導致的準備費和貯存費的話，允許缺貨就應該是可以采取的策略。這類模型適用于像商店購貨之類的情形，缺貨造成的損失是可以允許和估計的。不允許缺貨模型的假設1、2不變，假設3改為：3a.生產能力無限大（相對于需求量），允許缺貨，每天每件產品缺貨損失費為，但缺貨數量需在下次生產（或訂貨）時不足。

因貯存量不足造成缺貨時，可以認為貯存量函數為負值，周期仍記為是每周期初的貯存量，于是有。在到這段缺貨時段內需求率不變。由于規定缺貨量需補足，所以在時數量為的產品立即到達，使下周期初的貯存量恢復到。

一個周期內的貯存費是，缺貨的損失費是，于是一周期的總費用為:，每天的平均費用為:。利用微分法得到最優解為:。

當即缺貨損失費無窮大時，允許缺貨模型的最優解近似于不允許缺貨模型的最優解。可見不允許缺貨模型可視為允許缺貨模型的特例。

三、考慮購買貨物本身的費用

如果在上述兩個存貯模型中考慮購買貨物本身的費用，則應在總費用中增加貨物購買費，重新確定最優訂貨周期和訂貨批量。設購買單位重量貨物的費用為m。

對于允許缺貨的模型，總費用為:，于是每天的平均費用為:。利用微分法得到最優解為:。

對于不允許缺貨的模型，總費用為:，于是每天的平均費用為:，得到最優解為:總費用中增加購買貨物本身的費用，確定的最優訂貨周期和訂貨批量都與原模型的結果一樣。

四、不允許缺貨的生產銷售存貯模型

在實現生活中，很多廠家都是邊生產邊銷售，對于這種情形，我們同樣可以建立模型，求出其最優的生產周期。

設生產的速率為常數，銷售的速率為常數。在生產周期內，開始的一段時間()一邊生產一邊銷售，后來的一段時間()只銷售不生產。設每次生產準備費為，單位時間每件產品貯存費為，不允許缺貨。邊生產邊銷售時，貯存量，只銷售不生產時，貯存量，令得。總費用為:，于是每天的平均費用為:。利用微分法得到最優解為:。

當時，，相當與不考慮生產的情況。當時，，因為產量被銷售量抵消，無法形成貯存量。

五、結束語

由于存貯問題的管理模型并不復雜，原理也容易掌握，該模型的應用可以改善企業的經營管理，以達到節約資金，獲得更多利潤的目的。

參考文獻：

[1]姜啟源謝金星葉俊：《數學模型》[M]. 北京:高等教育出版社，2003 ，8.

[2]錢頌迪：運籌學[M]. 北京:清華大學出版社，1990 ，1.