巧解一元一次不等式

一元一次不等式是初中數學的重要組成部分，這一部分的內容也是今后學習高中數學課程的基礎部分.

首先我們要弄清楚幾個概念，如“不等式”#65380;“解不等式”#65380;“不等式的解”#65380;“不等式的解集”等.

用“ <”(或“≤”)#65380;“ >”(或“≥”) 表示不等關系的式子，叫做不等式.

能使不等式成立的未知數的值，叫做不等式的解.但是，能使不等式成立的未知數往往不是一個或幾個數值，而是一個數值范圍. 不等式的所有解稱為不等式的解集.

求出字母應該取什么范圍內的數值，才能使不等式成立，這個過程叫做解不等式.

其次，我們要掌握不等式的性質.不等式的性質是解不等式的依據，運用它們才能熟練地解不等式. 不等式的性質有三條:

(1) 如果a > b，那么a + c > b + c ， a - c > b - c;

(2) 如果a > b，并且c > 0 ，那么ac > bc;

(3) 如果a > b，并且c < 0 ，那么ac < bc.

特別是第(3) 個性質，初學時常常會出錯誤，必須熟記.因此在不等式兩邊同乘以一個數(或一個代數式) 時，要特別小心. 一定要看清楚所乘的那個數(或那個代數式的值) 是正數#65380;負數，還是零.

最后我們要弄清等式和不等式的許多相似和不同的地方.

(1) 從不等式和等式的性質來看，兩者基本是相同的，不同的是:等式的兩邊同乘(除)一個負數，等式仍然成立.

(2) 從一元一次方程和一元一次不等式的解題步驟來看，它們也是基本相同的，可以概括為四個字: 去#65380;移#65380;并#65380;除. 去，就是去分母與去括號，上面已經談過了，如果去分母時，不等號兩邊同乘(或除) 以的是一個負數，這時不等號的方向一定要改變. 移，就是移項，一般都是將含未知數的項移至方程或不等式的左邊，常數項移至右邊. 并，就是合并同類項. 除，就是兩邊同除以方程或不等式一次項的系數. 這里還得再一次強調，如果一元一次不等式一次項的系數為負數，這時不等號的方向一定要改變.

(3) 從方程的解和不等式的解這兩個概念來看，它們是有區別的.一元一次方程如果有解，一般只有一個解. 例如:5x = 20 的解是 x = 4，它是唯一的. 可是，如果一個一元一次不等式有解，一般就有無窮多個解.

例如，對于不等式5x < 20來講， 3 是它的一個解，2，1，0，-1， - 2. 3 ，- 4都是它的解，它有無窮多個解. 把所有這些解合在一起，就是不等式4x < 20“解集”， 它的解集是x < 5.

在了解了一元一次不等式之后，我們先來看這樣兩個例子:

甲同學在解不等式4(x - 1) < 6時，得x <，檢驗此解，對任取一個小于 的值，如取x = 1，得不等式的左邊 = 0，右邊 = 6，左邊小于右邊，根據不等式解集的意義可知，原不等式的解集為x <.然而，本題的正確答案是x <，我們知道只要滿足x <的，就一定能滿足x <，致使該同學查不出其中的錯誤，最后功虧一簣.

乙同學在解不等式4(x + 1) -5(x + 2) < 0時，得4 x + 4 - 5x - 10 < 0，(1) -x - 6 < 0，(2)x + 6 < 0，(3)x < -6，(4)經檢驗計算，如任取幾個小于-6的數，如-7，-8，-10代入原不等式，均不滿足原不等式.那么問題出在哪呢?經檢驗，問題在計算的第三步，即在將前面系數化為“1”時，等式兩邊乘以“-1”時，不等式的方向未改變.

我們回過頭來看，就不難發現要使不等式的解集正確，一方面，就必須保證每一步的計算都正確;而另一方面要保證變形時不等號方向正確.一般地，為了避免不等號倒來倒去的麻煩，只要在最后，即系數化為1時，當未知數的系數是負數時，我們才運用不等式的兩邊同乘以(或除以)一個負數.

在正確理解一元一次不等式的基礎上，接下來我們來討論如何迅速而正確地解一元一次不等式.

第一，巧去括號.去括號一般是從里到外，也就說先去小括號，再去中括號，最后去大括號，但是有時候從相反的方向來解決問題，往往會得到意想不到的結果.

例1 2.5 × [0.4(x - 5) - 4] - 2x > 2.

分析 因為2.5 × 0.4 = 1，所以先去中括號，可以明顯簡化解題過程.

解 去中括號得:x - 5 - 10 - 2x > 2，

合并同類項可得:-x > 17，

即 x < -17.

第二，巧用整體法.

例2 3{(4x - 1) - [2(4x - 1) + 3]} > 0.

分析 把4 -1看成整體，可以明顯簡化解題過程.

解 去大括號得:3(4x - 1) - 3[2(4x - 1) + 3] > 0，

中括號得:3(4x - 1) - 6(4x - 1) - 9 > 0，

合并同類項可得:-3(4x -1) - 9 > 0，

化簡得:-12x > -6，

即x < 0.5.

第三，巧用分數的基本性質.

例3 解不等式:- 6.5 > - 7.5.

分析 此不等式，直接去分母較復雜，然而此題有兩個特點，(1)的分子，分母均含有公因式2，約去公因式2后，兩邊的分母相同了;(2)兩個常數項移項合并后為整數.

解 原不等式可化為- > -1.

4 - 6x - 0.01 + x > -0.01，

-6x + x > -4，

得-5x > -4，故x<.

第四，巧用拆項法.

例4解不等式:+ + - 3 ≥ 0.分析 將不等式左邊的-3拆為三個-1，再分別與前面的三項結合，便可以巧妙地解答此題.

解 原不等式可化為- 1 + - 1+ - 1 ≥ 0，得+ + ≥ 0.

提取公因式可得: (x - 1)+ + - 1 ≥ 0， 得(x - 1) ≥ 0，即x ≥ 1 .

第五，巧用提取公因式法.

例5 解不等式:78(x - 4) + 51(8 - 2x) - 63(4 - x) > 0.

分析 觀察此不等式，直接去括號較復雜，注意到左邊各項均含有公因式x - 4，因此，提取公因式可以速解此題.

解 原不等式可化為:

78(x - 4) - 51 × 2(x - 4) + 63(x - 4) > 0.

提取公因式x - 4，可得(x - 4)(78 - 51 × 2 + 63) > 0.

即39(x - 4) > 0，故x > 4.

第六，巧用不等式的性質.

例6 解不等式:- 6 <3x - 2 < 2.

分析 這是一個雙重不等式， 可以將不等式左#65380;中#65380;右3 個式子分別加2 ，這樣可以簡化解題過程.

解 不等式左#65380;中#65380;右3 個式子分別加2，得

- 4 < 3x < 4.

再將不等式各項都除以3 ，得

-< 3x <.

第七，巧將未知量看做已知量.

例7 當k 取什么值時，方程 x - 3k = 5(x - k) + 1的解是正數，負數，零?

分析 如果我們暫時把方程中的k 看成是已知數，那么這就是關于x 的一元一次方程，解這個方程，得x = .

下面問題又轉化為分別解下列不等式和方程:

> 0，< 0，= 0.

解 原方程的解為x =.

當方程的解為正數時，得> 0，即k >.

當方程的解為負數時，得< 0，即 k <.當方程的解為零時，得= 0，即k =.

在以后解不等式的過程中，在正確理解不等式的各種概念的基礎上，巧妙地運用簡便方法，可以達到事半功倍的效果.

注:“本文中所涉及到的圖表#65380;注解#65380;公式等內容請以PDF格式閱讀原文#65377;”