對(duì)一道數(shù)學(xué)趣題解答的剖析與思考

1. 一道數(shù)學(xué)趣題及其常見解答

有一道數(shù)學(xué)趣題，流傳著許多種版本，大量出現(xiàn)在小學(xué)教材和課外讀物里[1-4].現(xiàn)以上海版六年級(jí)《數(shù)學(xué)》課本中的一道習(xí)題[5]為例展開討論.

古印度有一位老人，臨終前留下遺囑，要把11頭牛分給三個(gè)兒子，老大分得總數(shù)的 ，老二分得總數(shù)的，老三分得總數(shù)的 .按印度的教規(guī)，牛被視為神靈，不能宰殺，只能整頭分.三兄弟為此一籌莫展，你能幫助他們解決問(wèn)題嗎?

據(jù)說(shuō)，在場(chǎng)的一位智叟巧妙地解決了這個(gè)難題. 他先借給他們1頭牛，使牛的總數(shù)變成12頭，然后三兄弟按遺囑中的比例各分得6頭#65380;3頭和2頭;最后，剩下1頭，又還給智叟.從而，問(wèn)題得到解決，且皆大歡喜. 在此方案的啟發(fā)下，人們想出了許多種解答方法.常見的有:

(1) 借一法:先借1頭，使牛的總數(shù)變成12.三兄弟各分得總數(shù)12的 ， ， ，即6頭#65380;3頭和2頭.最后剩下1頭，物歸原主.這樣，問(wèn)題得解. [6-18]

(2) 級(jí)數(shù)法:因三兄弟的總份額為 + + = ，故老大第一次從總數(shù)11中分得× 11后，第二次可從總剩余量 中，分得×. 照此一直分下去，老大分得的總頭數(shù)為= 6.同理，老二#65380;老三分得的總頭數(shù)各為3和2.嚴(yán)格按遺囑份額要求，11頭被整分完.問(wèn)題得解.[7，9]

(3) 連比法:因 ∶ ∶= 6 ∶ 3 ∶ 2 ，且6 + 3 + 2 = 11，故三兄弟各分得6頭#65380;3頭和2頭.按遺囑比例要求，11頭被整分完.問(wèn)題得解.[11-15]

(4) 方程法:設(shè)老大分得x頭，則老二和老三各分得 頭和 頭.依題意得方程:x + + = 11，解之得x = 6.故三兄弟各分得6頭#65380;3頭和2頭.按遺囑比例要求，11頭被整分完.問(wèn)題得解.[10]

(5) 舍入法:因 ≈6， ≈3， ≈2，且6 + 3 + 2 = 11，故三兄弟各分得6頭#65380;3頭和2頭.近似按遺囑比例要求，11頭被整分完.問(wèn)題得解. [15]

但也有人認(rèn)為這是一道錯(cuò)題，無(wú)法解.

(6) 歸錯(cuò)法:既要求三兄弟各分得總數(shù)的， ， 又要求整分11，這無(wú)法實(shí)現(xiàn).所以，此為錯(cuò)題，無(wú)法解.[19] 還有人認(rèn)為此題自相矛盾，故無(wú)解.

(7) 矛盾法:因+ + = < 1，且總數(shù)11為素?cái)?shù)，若按遺囑要求，則11既不能被分盡，又不能被整分，故遺囑內(nèi)容自相矛盾，要求無(wú)法滿足.本題無(wú)解.[5，20]

然而，這是錯(cuò)題嗎?若否，又是否有解?若有，又該怎樣解呢?

2. 對(duì)常見解答的剖析

法(1)似乎既巧妙又合理，但其中的推理存在邏輯漏洞.因?yàn)閷?shí)際是以12而非遺囑要求的11為總數(shù)進(jìn)行分配的，故推理有漏洞.但這是否也說(shuō)明智叟的解決方案有問(wèn)題呢?本問(wèn)題留在3.2節(jié)回答.

法(2)巧妙利用極限思想，既是一次次嚴(yán)格按遺囑份額分配，又恰將11頭整分，似無(wú)毛病，但也有漏洞.問(wèn)題就出在“一次又一次地分割”，因遺囑沒(méi)說(shuō)“一次不能分盡，可再分”.

法(3)似乎既精巧又無(wú)懈可擊，但仍有漏洞.因“ ∶ ∶= 6 ∶ 3 ∶ 2且6 + 3 + 2 = 11 ”表示“按 ∶ ∶ 的比例把11頭牛分完”，但遺囑要求的是分別把總數(shù)11頭牛的 ， ， 分給三兄弟.當(dāng)且僅當(dāng)幾個(gè)正分?jǐn)?shù)的和為1時(shí)，這兩種分法才等價(jià).這里的 + +=≠1，故兩者不等價(jià)，所以，法(3)仍有漏洞.

法(4)雖巧妙利用了方程思想，但還是有漏洞.問(wèn)題就出在“依題意得方程”，因方程并不合題意.錯(cuò)誤的實(shí)質(zhì)與法(3)同，即當(dāng)且僅當(dāng)幾個(gè)正分?jǐn)?shù)的和為1時(shí)，方程才符合題意.故法(4)還是有漏洞.

法(5)似乎顯得荒誕，但它或許蘊(yùn)涵著某種重要的解題思想.

法(6)顯然不對(duì).一方面，這是生活中可能出現(xiàn)的實(shí)際問(wèn)題;另一方面，題中矛盾并非設(shè)計(jì)者考慮不周所致，而是為考驗(yàn)解答者智慧所精心設(shè)置的.故本題并非錯(cuò)題，而是匠心獨(dú)運(yùn)的好題.

法(7)似乎是唯一正確的解答，但本問(wèn)題真的無(wú)解嗎?下面我們來(lái)作進(jìn)一步討論.

盡管解答(7)已由 非整數(shù)，否定了嚴(yán)格滿足本題條件的整數(shù)解不存在，即認(rèn)為無(wú)解，但這并未解決問(wèn)題，因?yàn)槲覀兯媾R的是分牛的現(xiàn)實(shí)問(wèn)題.這里的“無(wú)解”既未告訴人們是否應(yīng)該分牛，又未指出“若分，又該怎么分;若不分，又將怎么辦” .所以，解答(7)實(shí)際上并未解決分牛糾紛.為什么會(huì)出現(xiàn)這樣的尷尬，我們又該怎樣解決這一矛盾呢?為此，我們嘗試用下面的辦法，看是否能解決問(wèn)題.

3. 本題在“逐層分析，退求其次”解題策略下的解決方案

3.1 “逐層分析，退求其次”的解題策略

為解決與本趣題類似的問(wèn)題，不妨我們將數(shù)學(xué)解答題分為情景化問(wèn)題和抽象化問(wèn)題(下面簡(jiǎn)稱情景問(wèn)題和抽象問(wèn)題)兩大類.如“一個(gè)小孩先吃2個(gè)蘋果，再吃3個(gè)蘋果，問(wèn)小孩一共吃了幾個(gè)蘋果”，就是一個(gè)具有情景的數(shù)學(xué)問(wèn)題.我們可以把它抽象成“ 2 + 3 =?”，這里的“2 + 3 =?”就是前面的情景問(wèn)題對(duì)應(yīng)的抽象問(wèn)題.于是，解答數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，需分類進(jìn)行.對(duì)于抽象問(wèn)題，首先應(yīng)判斷其前提是否有矛盾或不周密.若是，則問(wèn)題無(wú)解;若否，則繼續(xù)解下去.但對(duì)于情景問(wèn)題，情況要復(fù)雜得多.通常，我們是將其轉(zhuǎn)化為抽象問(wèn)題來(lái)解的.當(dāng)抽象問(wèn)題有解時(shí)，還要看該解是否與情景相符.若是，則抽象問(wèn)題的解就是對(duì)應(yīng)情景問(wèn)題的解;若否，則它不是情景問(wèn)題的解，應(yīng)舍去.當(dāng)抽象問(wèn)題無(wú)解時(shí)，人們往往誤以為對(duì)應(yīng)的情景問(wèn)題就一定無(wú)解.然而，事實(shí)并非如此.這是為什么呢?

因?yàn)楸M管抽象問(wèn)題是由同一類情景問(wèn)題族抽象而成的，且族內(nèi)任一情景問(wèn)題都是該抽象問(wèn)題的具體化，然而兩者的解的含義卻有很大差異.抽象問(wèn)題的解，是嚴(yán)格滿足命題條件的待求元的值;情景問(wèn)題的解卻是該問(wèn)題的解決方案，它不一定會(huì)嚴(yán)格滿足命題的所有條件.當(dāng)抽象問(wèn)題無(wú)解時(shí)，只能說(shuō)，其對(duì)應(yīng)的情景問(wèn)題無(wú)嚴(yán)格滿足所有條件的精確解，而不能說(shuō)它無(wú)解.為使情景問(wèn)題得到解決，在它無(wú)精確解時(shí)，我們就要退而求其次，看是否能求得近似解，從而給出這一情景問(wèn)題的最佳解決方案.

至于能否和怎樣尋求最佳解決方案的問(wèn)題，似乎可用“逐層分析法”，即把問(wèn)題所包含的矛盾分層次，且從高到低依次排列，使低層矛盾的解決以高層矛盾的解決為條件.對(duì)于無(wú)精確解的情景問(wèn)題，因至少存在某層矛盾得不到解決，故需優(yōu)先解決高層矛盾，直到某層矛盾不能解決為止，最后，再針對(duì)該層矛盾求問(wèn)題的近似解.

因此，求解數(shù)學(xué)問(wèn)題的方法或步驟可歸結(jié)如下:

(1) 分清待解的是抽象問(wèn)題，還是情景問(wèn)題.

(2) 對(duì)于抽象問(wèn)題，首先應(yīng)判斷其前提是否有矛盾或不周密.若是，則問(wèn)題無(wú)解;若否，則繼續(xù)解下去.

(3) 對(duì)于情景問(wèn)題，一般是先將其轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)的抽象問(wèn)題來(lái)解，然后根據(jù)表1中兩類問(wèn)題解的對(duì)應(yīng)關(guān)系，求出或確定情景問(wèn)題的解.若抽象問(wèn)題無(wú)解，則還需用“逐層分析法”確定情景問(wèn)題近似解的存在情況，從而得到問(wèn)題的解決方案.

3.2 本趣題在“逐層分析，退求其次”策略下的解答

下面，我們就按上述步驟和策略來(lái)解答本題.

這是一個(gè)關(guān)于解決分牛糾紛的數(shù)學(xué)情景問(wèn)題.由解法(7)知，其抽象問(wèn)題的前提存在矛盾，故抽象問(wèn)題無(wú)解，但根據(jù)步驟(3)表1中情景問(wèn)題與抽象問(wèn)題解的對(duì)應(yīng)關(guān)系知，本分牛問(wèn)題可能存在近似解.

若將題中矛盾按從高到低依次分成“是否分牛”#65380;“是否整分牛”和“是否嚴(yán)格按遺囑要求分牛”3層，則根據(jù)“逐層分析法”求近似解的規(guī)則，應(yīng)優(yōu)先解決上兩層矛盾，讓它們的狀態(tài)都變成“是”，即在“分牛”且“整分牛”的前提下求近似解.為此，可用前述方法(1)~(5)中任意一種求解，且結(jié)果相同，即3兄弟各分得6頭#65380;3頭和2頭.

至此，我們看到，由方法(1)~(5)得到的最終解決方案與智叟的一致，且都是近似解，但它們又存在很大差別.方法(1)~(4)在推理過(guò)程中，都存在邏輯漏洞;方法(5)雖蘊(yùn)涵了“無(wú)精確解，就退而求其次”的解題思想，但還是略顯“武斷”;唯有智叟，他只給出了處理糾紛的方案，而未像方法(1)~(4)那樣，還給出了含有邏輯漏洞的解釋.因此，不僅智叟的方案正確，而且其處理方法，對(duì)于古印度山區(qū)沒(méi)有多少文化的農(nóng)民來(lái)說(shuō)，可謂是十分絕妙的.

4. 從人們對(duì)本題解答情況統(tǒng)計(jì)看數(shù)學(xué)教育

4.1 關(guān)于人們對(duì)本題解答情況的統(tǒng)計(jì)

(1) 對(duì)網(wǎng)民解答情況的統(tǒng)計(jì).筆者于2007年9月2日，在“百度”搜索網(wǎng)站，分別以“分牛”#65380;“分馬”#65380;“分羊”和“分牛問(wèn)題”為關(guān)鍵詞搜索，再截取各關(guān)鍵詞搜索到的前10頁(yè)中與解答類似本趣題有關(guān)的帖子，獲得對(duì)網(wǎng)民解答統(tǒng)計(jì)情況，如表2.

注:“本文中所涉及到的圖表#65380;注解#65380;公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文#65377;”