芻議數學歸納法證明整除性問題技巧

【摘要】 用數學歸納法證明整除性問題，如:求證f(n)能被a整除，設f(n)是隨自然數變化的已知整式(或整數)，a是給定的整式(或整數).由假設n = k時命題成立，來推證n = k + 1時命題也成立，是最關鍵的一步，也是最難證明的一步.如果用f(k + 1)除以f(k)，求出它的余數(或余式)，即設f(k + 1) = qf(k) + r，q為商，r為余數(或余式).若r能被a整除，則由假設可知f(k + 1)能被a整除，即n = k + 1時命題也成立.這樣，就極大地簡化了證明過程.

【關鍵詞】數學歸納法 帶余除法 整除性問題 數學題

證明與自然數有關的命題，通常都用數學歸納法進行證明.采取這種證法，由假設n = k時命題成立，來推證n = k + 1時命題也成立，往往要借助于某些不易想到的特殊技巧.筆者擬就本文，談談帶余除法在數學歸納法證明整除性問題中的應用.

例1 求證:xn+2 + (x + 1)2n+1(n ∈n* )能被x2 + x + 1整除.

證明 設f(n) = xn+2 + (x + 1)2n+1.

(i)當n = 1時，f(1) = x3 + (x + 1)3 = (x2 + x + 1)#8226;(2x + 1)，命題顯然成立.

(ii)假設n = k≥1時命題成立，即x2 + x + 1|f(x) .則當n = k + 1時，f(k + 1) = xf(k) + (x + 1)2k + 1(x2 + x + 1).

由假設可知f(k)能被x2 + x + 1整除，

又(x + 1)2k + 1(x2 + x + 1)也能被x2 + x + 1整除，

所以f(k + 1)也能被x2 + x + 1整除，

即當n = k + 1時命題也成立.

綜上可知:xn + 2 + (x + 1)2n+1(n ∈n*)能被x2 + x + 1整除.

例2 求證:32n+2 - 8n - 9(n ∈n*)能被64整除.

證明 設f(n) = 32n+2 - 8n - 9.

(i)當n = 1時，f(1) = 34 - 8 - 9 = 64能被64整除.

(ii)假設n = k≥1時命題成立，即64|f(k).

則當 n = k + 1時，f(k + 1) = 32f(k) + 64(k + 1).

∵ 64|f(k)，64|64(k + 1)，

∴ 64|32 f(k) + 64(k + 1)，

∴ 64|f(k + 1)，即當n = k + 1時命題也成立.

綜上可知:32n + 2 - 8n - 9(n ∈n*)能被64整除.

例3 求證:62n + 3n + 2 + 3n(n ∈n*)能被11整除.

證明 設f(n) = 62n+3n+2 + 3n.

(i)當n = 1時，f(1) = 62 + 33 + 3 = 66能被11整除.

(ii)假設n = k ≥ 1時命題成立，即11|f(k).

則當n = k + 1時，f(k + 1) = 62f(k) - 11 × 3k+3 - 11 × 3k+1

∵ 11|f(k)，11|11 × 3k+3 - 11 × 3k+1，

∴ 11|62f(k)，11|11 × 3k+3 - 11 × 3k+1，

∴ 11|f(k +1)，即當n = k + 1時命題也成立.

綜上可知:62n + 3n+2 + 3n(n ∈n*)能被11整除.

例4 求證:an - nabn-1 + (n-1)bn(n ∈n*，且n≥2)能被(a - b)2整除.

證明 設f(n) = an - nabn-1 + (n - 1)bn.

(i)當n = 2時，f(2)= a2 - 2ab + b2能被(a - b)2整除.

(ii)假設n = k≥2時命題成立，即(a - b)2|f(k).

則當n = k + 1時，f(k + 1) = af(k) + k bk-1(a2 - 2ab + b2).

∵ (a - b)2|f(k)，(a - b)2|k bk-1(a2 - 2ab +b2)，

∴ (a - b)2| af(k) + k bk-1(a2 - 2ab + b2)，

∴ (a - b)2|f(k + 1)，即當n = k + 1時命題也成立.

綜上可知:an - nabn-1 + (n - 1)bn(n ∈n*，且n≥2)能被(a - b)2整除.

從上面幾個例題可以看出，在用數學歸納法證明整除性問題中應用帶余除法運算，往往能起到分散難點，化難為易的效果.極大地簡化了證明過程，大大提高了解題效率.

注:“本文中所涉及到的圖表#65380;注解#65380;公式等內容請以pdf格式閱讀原文#65377;”