對鉤函數的性態及其運用

【摘要】 本文利用二次曲線的一般理論深入研究了對鉤函數的曲線本質是雙曲線，并利用它的性質來解決有關的數學問題，顯得十分方便.

【關鍵詞】 “對鉤”函數 二次曲線 不變量 雙曲線 性態

近年來，高考數學中不少考題均涉及函數的最值和值域問題，實際應用問題等，有些問題可以利用“對鉤”函數的性態來解決，它不但是均值定理的補充，還有著更為廣泛的運用.

一#65380;對鉤函數的定義

定義:形如f(x) = ax +(其中a > 0，b > 0)的函數稱為對鉤函數.

對鉤函數得名于它的圖像類似于批改作業時教師用的對鉤“√”.

其對應的函數圖像如圖1:

二#65380;對鉤函數的性態

定理1 對鉤函數是雙曲

線，其兩條漸近線為直線y = ax及y軸.

對鉤函數的本質是雙曲線，它是將標準坐標下的雙曲線進行了旋轉和平移變換以后得到的，這可以利用二次曲線的一般理論加以證明.

定理2 對鉤函數的對稱中心為坐標原點. 這可利用它是奇函數這一特點得到.

定理3 對鉤函數的單調區間:增區間是-∞，- 和 ，+∞，減區間為- ，0和0， ，這可利用求導的方法簡單求得.

定理4 對鉤函數的極值規律:函數在x =處取得極小值y =2，在x = - 處取得極大值y = -2 . 利用定理3的結論不難得出此結論.

說明 當a，b的符號為其他情況時，我們可以類似地得出它們的性質，留給讀者自己去探索.

三#65380;對鉤函數的運用

1. 對鉤函數運用于求值域或最值

例1 求函數y =的值域.

分析 y = = = +，設t = ≥ 2，則y = f(t) = t +(t∈[2，+∞)). 函數y = f(t)在區間[2，+∞)上是增函數.

∴ 當t = 2即x = 0時，ymin =. 所以函數的值域是{x|x ≥}.

點評 對鉤函數求最值與均值定理求最值應互為補充. 此題不能利用均值定理來求最小值，因為取等號的條件是=即x2 = -3(無解)，所以最小值不是2.

2. 對鉤函數運用于解不等式

例2 (2006年江蘇卷)不等式log2x + + 6≤3的解集為_______.

分析 易將不等式轉化為-6 < x + ≤ 2，令y = x +，畫出它的草圖不難得出解集為{x| - 3 - 2< x < -3 + 2 或x = 1}.

點評 利用數形結合，把問題轉化為求函數與直線 y = -6及y = 2的交點的橫坐標，進而只需解方程，顯得直觀快速而準確.

3. 對鉤函數運用于求參數的取值范圍

例3 (2006年江西卷)若不等式x2 + ax + 1 ≥ 0對于一切x∈0， ，則a的最小值是 ().

A. 0 B.-2C. -D. -3

分析 由題設，可分離參數:a ≥ -x + ，利用y = -x +在x∈[0，1)上的單調性質可知，當x =時函數有最大值為y = - ，所以a ≥ - ，選C.

點評 若直接利用二次函數在給定區間上的最值問題或根的分布問題來解決也可，但分離參數以后轉化為對鉤函數在給定區間上的最值問題顯得更為簡單.

4. 對鉤函數應用于綜合問題

例4 (2006年上海卷)已知函數y = x +具有如下性質:如果常數a > 0，那么該函數在(0， ]上是減函數，在[ ，+∞)上是增函數.

(1) 如果函數y = x +(x > 0)在(0，4]上是減函數，在[4，+∞)上是增函數，求b的值.

(2) 設c∈[1，4]，求函數f(x)= x +(1 ≤ x ≤ 2)的最大值和最小值.

(3) 當n是正整數時，研究函數g(x) = xn +(c >0)的單調性，并說明理由.

分析 (1) 由已知可得 = 4，所以b = 4.

(2) ∵ ∈[1，2]，于是x =時，函數f(x) = x +有最小值2 .當1 ≤ c ≤ 2時，函數f(x)有最大值f(2) = 2 +;當2 ≤ c ≤ 4時，函數f(x)有最大值是f(1) = 1 + c.

(3) 令t = xn，則g(t) = t +，由題設知(-∞，- ]，[ ，+∞)上為增函數在[- ，0)，(0， ]上為減函數.

當n為偶數時，t = xn為偶函數，且在(0，+∞)上為增函數，在(-∞，0)上減函數. 由復合函數的單調性知，g(x)在[ ，+∞)和[- ，0)上為增函數，在(0， ]和(-∞，- ]上是減函數.

當n為奇數時，t = xn為奇函數，且在(0，+∞)上為增函數，在(-∞，0)上為減函數. 由復合函數的單調性知，g(x)在[ ，+∞)和(- ，0]上是增函數，在(0， ]和(-∞， )上是減函數.

點評 此題以對鉤函數為背景，充分利用對鉤函數的單調性及復合函數求單調區間的方法，使問題輕松解決.

注:“本文中所涉及到的圖表#65380;注解#65380;公式等內容請以PDF格式閱讀原文#65377;”