幾類分配問題的數學分析

【摘要】 討論兩類常見的分配問題，用數學工具尋求如何使分配做到最公平的解法.

【關鍵詞】 分配問題 比例方法 Q值方法 不公平度

在市場經濟條件下，在高效的管理環境中，如何進行資源以及權利義務的分配是一件關系到各方利益的大事. 根據分配時的已知條件，我們可以將其大致分為兩種類型.

第一類:比例已定的分配 . 所謂比例已定是指權利或義務的總量一定，分配比例一定. 如高校管理中的期末考試監考名額的分配，教代會各系代表名額的分配等. 對此情況如何使分配做到公平，是管理人員必須考慮的問題. 根據實際意義，由于名額的分配必須是整數，所以我們只能做到盡量公平. 對于分配結果沒有實際意義限制的情況，直接應用比例分配方法即可，在此不加說明.

現以我院教代會各系代表名額的分配為例:我院有五個系一個基礎部共180名老師(詳細數據如下表)，要從中選出49名教師參加教代會. 工會如何分配該名額最公平?如果在選舉過程中新增2個代表名額，該名額又該如何分配?

1. 比例方法

(以上數據的計算采用四舍五入)

以上分配采用了習慣性的做法，用分配名額乘以比例然后四舍五入處理. 但是這種分配方法公平嗎?由上表觀察發現基礎部比環資系只多2名教師卻多分配了1個代表名額，顯然不公平(平均每3.67個教師分到1個名額). 當名額略有增加的時候，我們發現增加的名額卻給了生物和環資系，為研究其中的奧妙，我們舍棄慣例，決定建立一個數量指標用來衡量分配是否公平. 方法如下:

假設現有A，B兩方參與名額的分配，A，B兩方的人數分別記為p1，p2，最終分得的名額分別記為n1，n2(只能取整). 列表如下:

當= 時，表示分配是公平的，也是人們所期望的(當結果沒有實際限制時，滿足此原則即可).

當>時，表示對A是不公平的. 不妨將-稱為對A的絕對不公平度，例如:p1 = 150，n1 =10， = 15 ; p2 = 100， n2 = 10，= 10時，對A的絕對不公平度- = 5. 有了這個數量指標后我們可以計算各系之間的絕對不公平度，來比較相互之間的不公平情況.

如下表(計算結果放大了1000倍)

若教師數量增加，而代表名額沒有發生變化時，例如:p1 = 1050，n1 = 10，= 105; p2=1000， n2= 10，= 100時，對A的絕對不公平度- = 5.

上述兩種情況下絕對不公平度的計算結果相同，但我們思考后發現后者對A的不公平已經大大降低!<. 盡管如此，我們還是希望能夠更精確地衡量不公平度. 由此我們將絕對度量改為相對度量，方法如下:

若>，定義= rA(n1，n2)為對A的相對不公平度，類似可以定義= rB(n1，n2). 而公平的分配方案應使rA，rB盡量小.

2. Q值方法

有的時候由于某種原因需要增加代表名額，我們需重新調整分配結果. 此時上述分配方案就由一次性的靜態分配轉化為了動態的分配.

即假設A，B已分別有n1，n2個名額，若再增加一個名額，問應分給A，還是B?

不妨設>，即對A不公平.

討論以下幾種情況:

(1) 若> ，則這席應該給A.

(2) 若<，則應計算rB(n1 + 1，n2)和 rA(n1 ，n2+ 1).

(3) 根據初始條件>， >恒成立，所以增加的這席仍應給A( >不會出現).

若 rB(n1 + 1，n2)< rA(n1 ，n2+ 1) ，則這席應給A，反之，給B.

由rA，rB 的定義，得<.

定義Qi =，i = 1，2，則該增加的一個名額給Q值較大的一方推廣到m方進行名額分配，設i方人數為pi，名額為ni，若增加1個名額計算Qi =，i = 1，2，…，m，該名額應分配給Q值最大的一方.

第二類:比例未知的分配.

首先來看一個例子:甲#65380;乙兩人以6元錢做賭注進行博弈，相約誰先贏滿3局，誰就獲得全部的賭注. 甲#65380;乙實力相當，每一局都有同等的獲勝概率，當進行了3局后，甲勝2局，乙勝1局，后因故兩人終止對局，該6元的賭注如何分配才合理?

此類問題在日常生活中也十分常見，已知的對局結果顯然對甲有利，所以甲理應多分一些才公平，但具體比例是多少呢?數學家帕斯卡給出了如下的合理分配方法:

考慮到這場賭注至多再進行2局就可見分曉，而這2次中，可能出現4種不同的結果

在前面已經進行了3局的基礎上，后面4種結果中前3種情況甲都贏得全部賭注，僅僅在第4種情況出現時，乙才贏得全部賭注，所以分配的比例應該是3:1才公平. 此種考慮個人最終期望所得進行分配的結果才是比較公平的結果.

綜上所述，在我們的管理中對分配問題可不能含糊. 對于已知比例的分配要說明的是分配情況不同，所謂的不公平度也有不同的含義，對于權利的分配，當然希望自己分配的權利越多越好，比如代表名額的分配;而義務的分配則希望是分配的義務越少越好，比如監考名額的分配. 所以此時的絕對不公平度是一個相對的概念. 而對于未知比例的分配更是要開通腦筋，找出最公平的分配方法.

注:“本文中所涉及到的圖表#65380;注解#65380;公式等內容請以PDF格式閱讀原文#65377;”