圓錐曲線方程備考方略

【摘要】 有關圓錐曲線的題目難度大，題型多，往往是拉開考生“檔次” 的關鍵，復習時要針對高考，熟練解題技巧，提高高考的得分率.

【關鍵詞】 圓錐曲線方程 題型 解題技巧

直線與圓錐曲線聯系在一起的綜合題在高考中多以高檔題#65380;壓軸題出現，主要涉及位置關系的判定#65380;弦長問題#65380;最值問題#65380;對稱問題#65380;軌跡問題等.突出考查數形結合#65380;分類討論#65380;函數與方程#65380;等價轉化等數學思想方法，要求考生分析問題和解決問題的能力#65380;計算能力較高，起到了拉開考生“檔次”，有利于選拔的功能.

一#65380;考點#65380;題型分析

1. 高考對圓錐曲線方程的考查側重以下幾個方面:考查圓錐曲線的概念和性質，多以選擇題和填空題的形式出現，注重對定義#65380;標準方程#65380;焦點坐標#65380;焦距#65380;離心率#65380;準線方程#65380;漸近線#65380;焦半徑等基礎知識的考查，同時也融和對基本技能和基本方法的考查.

2. 解答題的題型有:①求曲線(軌跡)的方程. 對于這一類問題，高考常常不給出圖形或不給出坐標系，以考查考生處理圓錐曲線問題的基本思想#65380;方法和能力.②有關直線與圓錐曲線的位置關系問題. 這類問題涉及圓錐曲線的性質和直線的基本知識以及線段的中點#65380;弦長等問題時，往往要利用“數形結合”與“設而不求”的方法#65380;對稱的方法以及根與系數的關系等.③與圓錐曲線有關的最值問題#65380;參數范圍問題. 這類問題綜合性較大，解題時需要根據具體問題，靈活運用平面幾何#65380;函數#65380;不等式#65380;三角知識，正確地構造圓錐曲線與其他數學知識的聯系. 以上三類問題是近幾年來高考的熱點，也勢必成為今后高考的主流之一.

3. 向量所具有的代數和幾何的雙重身份，使它成為與圓錐曲線的交揮#65380;融合的高考命題新趨勢，同時也是近幾年新課程高考的熱點內容. 這些試題的一個共同特點是利用向量引進條件，把新內容與傳統內容聯系在一起. 解答此類問題要注意的是，題目信息與不同數學知識的結合，可能會形成多個解題方向，這就要求能選取其中最簡捷的路徑，得到解題的最優解法.

二#65380;復習#65380;備考導引

1. 鎖定目標

① 掌握橢圓的定義，標準方程和簡單幾何性質及參數方程.

② 掌握雙曲線#65380;拋物線的定義，理解標準方程及其簡單幾何性質.

③ 根據具體條件利用各種不同的工具畫橢圓#65380;雙曲線#65380;拋物線的圖像，了解它們在實際問題中的初步應用.

④ 結合所學內容，進一步加強對運動#65380;變化和對立統一等觀點的認識.

2. 瞄準高考

①本章知識有三個特點:首先，是中學各主干知識的交會點——與函數#65380;方程#65380;不等式#65380;三角#65380;平面向量聯系密切，特別是與向量融合成為近幾年高考的必考點之一;其次，是各種數學思想方法的綜合點;第三，是初等數學與高等數學的銜接點，因而是歷年高考的重點. ② 本章內容在每年的高考試卷中一般有2~3道客觀題和一道解答題，難度上易#65380;中#65380;難都有，主要考查的內容是圓錐曲線的概念#65380;性質#65380;直線與圓錐曲線的位置關系等. 試題大致有三類:ⅰ考查圓錐曲線的概念與性質;ⅱ求曲線方程的軌跡;ⅲ關于直線與圓錐曲線位置關系的問題.

3. 方法技巧

掌握兩種定義的核心是:第一定義“距離和”為定值是橢圓(2a >|F1F2|);“距離差”的絕對值為定值是雙曲線(2a < |F1F2|)“距離比(e)”為常量，具有統一性(0 < e < 1為橢圓，e > 1為雙曲線， e = 1是拋物線);明確標準方程的關鍵:橢圓中焦點與長軸“同位”，雙曲線中焦點與實軸“同位”，拋物線中焦點與對稱軸“同位”. 求解圓錐曲線問題的常用方法;設而不求#65380;活用平面幾何知識#65380;數形結合#65380;向量法#65380;轉化法等;求曲線的方程或曲線的軌跡常用定義法#65380;直接法#65380;待定系數法#65380;相關點法#65380;參數法等.

三#65380;典型例題評析

1. 直線y = x - 1被拋物線y2 = 4x截得線段的中點坐標是______.

解 由y = x - 1，y2 = 4x消去y，化簡得 x2 - 6x + 1 = 0.

設此方程二根為x1，x2，所截線段的中點坐標為(x0，y0)，則 x0 =，y0= x0 - 1 = 2.

故應填(3，2) .

評析 本題考查了設而不求思想的靈活運用.

2. 橢圓+ = 1上的一點P到兩焦點的距離的乘積為m，則當m取最大值時，點P的坐標是_____.

解 記橢圓的兩焦點為F1，F2，有|PF1| + |PF2| = 2a = 10，則知m = |PF1| #8226; |PF2| ≤2 = 25.

評析 本題考查了橢圓的定義和不等式的性質，把知識和能力有機地結合了起來.

注:“本文中所涉及到的圖表#65380;注解#65380;公式等內容請以PDF格式閱讀原文#65377;”