數學中的數形結合思想探討

【摘要】 數形結合思想是通過構建數與形之間的對應關系，在二者的對應和互助中，來分析研究問題并解決問題的一種思想. 常見的數形結合的途徑有三種：以形助數、以數助形和數形互助. 在數學教學中，數形結合的解題方法具有直觀、靈活的特點，數形結合也是數學解題中的一種重要方法，應用十分廣泛. 本文就數學教學中數形結合思想進行簡單的介紹和分析，并對其應用作了研究.

【關鍵詞】 數形結合 數學 思想 解題方法

一、數形結合思想的含義

數形結合思想是中學數學中的一種重要的思想方法，“數”是指數量關系，“形”是指空間形式，數形結合的基本思想是在研究問題的過程中，注意把數和形結合起來考查，或者把幾何圖形轉化為數量關系問題，運用代數、三角知識進行討論；或者把數量關系轉化為圖形性質問題，借助幾何知識加以解決.

數形結合思想通過“以形助數，以數解形”，使復雜問題簡單化，抽象問題具體化，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數學問題的本質，它是數學的規律性與靈活性的有機結合. 數學中的數形結合，常與以下內容有關：① 實數與數軸上的點的對應關系；② 函數與圖像的對應關系；③ 曲線與方程的對應關系；④ 以幾何元素和幾何條件為背景，建立起來的概念，如復數、三角函數等；⑤ 所給的等式或代數式的結構含有明顯的幾何意義. 事實上無論要解決哪些問題，數形結合的思想始終是一種數學的綜合思想，結合了數形的各自優勢，為實際問題和數學問題的解決提供幫助與支持.

二、數形結合思想的意義

根據對人類大腦的科研成果，人類的大腦的兩半球具有不同的功能，其中，左半腦功能偏重于抽象的邏輯思維，講究規范嚴謹，穩定封閉，例如，數的運算、邏輯推理、歸納演繹等. 而人的右半腦功能則偏重于形象思維，講究直覺想象，自由發散，如猜想、假設、構思開拓和奇異創造等. 左、右半腦的功能各有特征，如果互相補充就會使大腦功能更加健全和發達. 數形結合思想就同時運用了左、右半腦的功能，在解決問題的同時，能達到培養形象思維能力，促進人們邏輯思維能力發展的效果.數形結合思想對數學的教學和學生的數學學習都有很大的幫助.

首先，“數形結合”有助于對數學知識的記憶. 學校教育中的數學知識一般是基礎理論性知識，需要學生牢固地記憶并掌握這些基礎知識，在此基礎上做到靈活和創造性地應用，在整個教學過程中，這二者是相輔相成的. 教學中運用形象記憶的特點，使抽象的數學盡可能地形象化，這樣對學生輸入的數學信息和映象就更加深刻，在學生的腦海中形成了數學的模型，可以形象地幫助學生理解和記憶. 例如：在研究函數時，可以利用函數圖形來記憶有關函數的知識點，像函數的定義域、值域、單調性、奇偶性、周期性、有界性以及凹凸性等.

其次，應用“數形結合”能訓練學生的數學直覺思維能力. 在數學的工作和學習中，存在著大量的直覺思維，即人們在求解數學問題時，運用已有的知識，從整體上對數學對象及其結構迅速識別、判斷，進而作出大膽的猜想，合理的假設，并得出試探性的結論.

第三，數形結合思想有利于培養學生的發散思維能力. 發散思維是從同一來源的材料或同一個問題中探求不同思路和方法的思維過程，其思維方向是從不同角度、不同方面看待同一個問題. 在教學中借助數形結合的形式，突出已知與未知之間的矛盾聯系，來引發學生提出新的思想、新的方法、新的問題，達到知識的融會貫通，拓展思維的廣闊性和靈活性，激勵學生的好奇心和求知欲，提高其解決問題的應變能力.

第四，應用“數形結合”有益于培養學生的創造性思維能力. 目前，推行素質教育已成為教育發展的主流. 對學生進行綜合素質和能力的培養，是建立新世紀創造性人才隊伍的需要，是思維的最高境界. 只有具有創造性思維能力的人，才能在各自的領域中有所創造發明，才能推動科學技術、人類社會向前發展.

三、數形結合思想在數學中的應用舉例

數形結合的思想應用非常廣泛，尤其是在數學中函數問題的解決方面應用較多，并以其明晰性，簡單性和直觀性等特點成為解決數學問題的關鍵思想.

例1 對于函數ｙ ＝ －ｘｃｏｓｘ的部分圖像是（）.

經過對圖形的分析：可以看出這是一道以數解形的題，顯然ｙ ＝ －ｘｃｏｓｘ為奇函數，可以排除Ａ，Ｃ，取ｘ ＝ ０．１，ｙ ＝ －０．１ｃｏｓ０．１ ＜ ０，圖像在ｘ軸下方，又可以排除Ｂ，故選Ｄ．

在數學教學中，教師也可以通過編選一些探索性的題目，讓學生去研究，去探討和發現. 讓他們不是從頭腦中已有的思維形式和思維方法中去找答案，而是從問題的本身進行具體的分析，進行一系列探索性思維活動，將已有的思維方式大跨度地遷移，從可供選擇的途徑中篩選出解決問題的方法，從而實現自身認知和思維能力的提升，這也正是數形結合思想的意義所在.

【參考文獻】

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