“常數變易法”在中學數學中的應用

【摘要】 舉例說明常數變易法在中學數學的知識學習#65380;問題解決#65380;問題開發(fā)中的應用.

【關鍵詞】 常數變易法 數學知識學習 數學問題解決 數學問題開發(fā)

“常數變易法”是“微分方程”中解一階線性非齊次微分方程的方法，就是將齊次線性微分方程通解中的常數c變換為函數c(x). 它是拉格朗日(Lagrange， Joseph Louis，1736~1813，法國數學家#65380;力學家及天文學家)十一年的研究成果，微分方程中所用的僅是他的結論. [1]

在中學數學中，教師常遇到這樣的情況:學生對含有常數的題目會做，但是，如果把常數變易為字母變量，就不會了;如果變易為函數就更不用說了. 筆者結合本人的教學經驗，舉例說明常數變易法在中學數學中的應用.

1. 數學知識學習

例1 已知關于x的方程(k - 2)x2 - (3k + 6)x + 6k = 0有兩個負根，求實數k的取值范圍.

分析 這樣的問題絕大部分學生都會做，但是如果把條件改為“有兩個小于m的根”，學生就不會做了，或者這樣做:

k - 2 ≠ 0，(3k + 6)2 - 4(k - 2)#8226;6k ≥ 0，< 2m，< m2.

這種方法是錯誤的，因為x1 < m，x2 < m與x1 + x2 < 2m，x2 x2 < m2是不等價的.

事實上，x1 < mx2 < m?圳x1 - m < 0x2 - m < 0?圳 x1 + x2 < 2m，(x1 - m)(x2 - m) > 0.原題中“兩個負根”的本質是x1 < 0，x2 < 0，變題是把常量“0”變易為變量“m”.

例2 已知數列{an}滿足a1 = 1，an - an-1 = 3，求數列的通項.

分析 這樣的問題幾乎每一名學生都能做對，只要套用等差數列的通項公式就可以了. 但是如果把常量“3”變易為自然數n的函數f(n) = kn + b(k，b是常數，k≠0)，因為這樣的數列既不是等差數列也不是等比數列，不能套公式，學生就不會做了. 問題出在哪里呢?只記住了通項公式，不理解公式的推導過程. 事實上，如果學生掌握了等差數列通項公式的推導過程，這樣的變題是很容易做出來的.

2. 數學問題解決

在求解某些題目時，如果能合理地把常量變易為變量，使問題變成某種數學模型，再利用其知識解題，有時可以收到出奇制勝的效果.

例3 解方程:-= 8. [2]

分析 按常規(guī)方法，此題需經過兩次移項#65380;平方，才能解決，運算量太大. 事實上，原方程可變?yōu)? = 8，從幾何意義上來看，方程式表示的意思是動點(x，3)到兩定點( -5，0)， (5，0)的距離的差等于8，這使我們聯想到雙曲線的定義，如果把常量“3”變易為變量“y”，則會得到- = 8，動點(x，y)的軌跡是雙曲線- = 1的右支，即x > 0，因為y = 3 ，所以x = 4 ，即方程的解是4 .

例4 設9cos A + 3sin B + tan C = 0， (1)

sin2 B - 4 cos A tan C = 0， (2)

求證:|cos A|≤.[3]

分析 條件(2)很容易使我們想到一元二次方程的判別式，條件(1)中9 = 32，所以，如果把常量“3”變易為變量“x”，則(1)變?yōu)殛P于x的一元二次方程:

cos A#8226;x2 + sin B#8226;x + tan C = 0. (3)

當cos A = 0時， |cos A| ≤ 顯然成立;

當cos A≠0時，由(2)知，方程(3)有兩個相等的根“3”，所以，x1x2 = = 9即tan C = 9cos A，代入(2)得sin2 B - 36cos2 A = 0.

所以，cos2 A = sin2 B ≤，所以 |cos A|≤.

3. 數學問題開發(fā)

人們常說“提出問題比解決問題更重要”，筆者認為，常數變易法不失為一種提出問題的好方法.

例如，在教學基本不等式x12 + x22 ≥ 2x1x2時，本人又讓學生證明了x13 + x23 ≥ x12x2 + x1x22，x14 + x24 ≥ x13x2 + x1x23，x14 + x24 ≥ 2x12x22，然后讓學生分析這些結論，提出問題. 學生很快提出問題:x1n + x2n ≥ x1ix2j + x1jx2i(i，j∈N+，i + j = n)，并用比差法證明了它.

受剛才常數變易法的啟發(fā)，學生情緒高漲，馬上有學生提出新問題:xin≥ (m∈N+).這個問題開發(fā)得很好，因為它更具一般性，但是，筆者至今沒有證明出來. 不管怎樣，教學目的達到了.

【參考文獻】

[1]崔士襄.“常數變易法”來歷的探討.邯鄲農業(yè)高等?？茖W校學報，1998，15(1):4O~41.

[2]王輝，李政謙.巧用常數變易法解題.中學數學月刊， 2004(4):34~35.

[3]李英明.常數變易兩例.中學數學月刊，2003(2):38~39.

注:“本文中所涉及到的圖表#65380;注解#65380;公式等內容請以PDF格式閱讀原文#65377;”