從“１”在多項(xiàng)式整除中的巧用淺談證明思想

【摘要】 利用1的n次單位根的巧用解決多項(xiàng)式整除中兩道典型題，并探索其中的證明思想.

【關(guān)鍵詞】 多項(xiàng)式整除 1的n次單位根 證明思想

在多項(xiàng)式整除中，我們經(jīng)常會(huì)遇到應(yīng)用1的n次單位根去證明的類型題，這類題對于初學(xué)者有一定的難度，即使知道1的n次單位根是什么，又不知如何與要證明的題目聯(lián)系起來，造成不知如何下手的狀況. 這些同學(xué)通常是基礎(chǔ)知識(shí)欠缺和模糊，接受知識(shí)反應(yīng)遲鈍，思維活動(dòng)不積極的同學(xué). 更關(guān)鍵的是他們往往把握不好數(shù)學(xué)證明的客觀性與主觀性的關(guān)系，以及追求驗(yàn)證結(jié)論與體會(huì)證明過程的關(guān)系.(假設(shè)文中多項(xiàng)式均為數(shù)域F上的多項(xiàng)式)

1. 在多項(xiàng)式整除中，我們利用“1n = 1”的特殊性去實(shí)現(xiàn)巧妙的變量代換，從而實(shí)現(xiàn)主觀與客觀的統(tǒng)一.

例1 證明:如果(x - 1)|f(xn)，那么(xn - 1)|f(xn) . 證明 因?yàn)?x - 1)|f(xn)，故可令f(xn) = (x - 1)g(x)，于是f(1n) = 0，(1)

即f(1) = 0.(2)

((1) 到(2)正是利用“1n” = 1”)

由(2)可知f(x) = (x - 1)h(x)，那么用xn代替x，有 f(xn) = (xn - 1)h(xn)，從而(xn-1)|f(xn) .

如果在證明過程中注意不到(1) 到(2)的過程，仍把1等同于一般變量，則會(huì)使我們進(jìn)入變量代換的循環(huán)狀態(tài)，而使題目無法得以證明.

故在(1)處我們有的同學(xué)是這樣做的:

由(1)式，得1為f(xn)=0的根，故(x - 1)|f(xn)，這樣就回到了循環(huán)狀態(tài).

這樣的同學(xué)過分強(qiáng)調(diào)了數(shù)學(xué)證明的客觀性，把數(shù)學(xué)證明看做是一個(gè)僵化的#65380;機(jī)械的#65380;不容變通的過程. 而巧用“1n = 1”才是我們這道題的關(guān)鍵. 這需要我們在原有知識(shí)的基礎(chǔ)上發(fā)揮主觀能動(dòng)性，誘發(fā)新的思考，提出新的思路，獲得新的發(fā)現(xiàn).

2. 在多項(xiàng)式整除中，會(huì)用1的n次單位根，使得驗(yàn)證結(jié)論與證明過程達(dá)到有效結(jié)合，建構(gòu)自己對數(shù)學(xué)證明的理解.

例2 如果(x2 + x + 1)|f1(x3) + xf2(x3)，那么(x - 1)|f1(x)，(x - 1)|f2(x).

證明 因?yàn)?x2 + x + 1)|f1(x3) + xf2(x3)，

又x2 + x + 1 = 0有兩個(gè)不同的根，

故x2 + x + 1的兩個(gè)不同根都整除f1(x3) + xf2(x3).

設(shè)w1，w2是x2 + x + 1 = 0的兩個(gè)不同根，

則w12 + w1 + 1 = 0，w22 + w2 + 1 = 0，w13 = 1，w23 = 1，

故f1(w13) + w1f2(w13) = 0，f1(w23) + w2f2(w23) = 0.

即f1(1) + w1f2(1) = 0，f1(1) + w2f2(1) = 0.

上式是關(guān)于f1(1)，f2(1)的二元一次方程組.

因w1≠w2，故解得f1(1) = f2(1) = 0，也就是1為f1(x)，f2(x)的根，即(x - 1)|f1(x)，(x - 1)|f2(x).

在做題過程中我們大多數(shù)同學(xué)認(rèn)為只要證出 f1(1) = 0，f2(1) = 0即可，卻無法與x2 + x + 1聯(lián)系起來，不會(huì)運(yùn)用x2+ x + 1的根w1，w2是1的3次單位根，即w13 = 1，w23=1，這些知識(shí)雖然在課本[1]中未涉及，但我們可以通過一些間接的信息，如α≠β，α|f(x)，β|f(x)，則αβ|f(x)，建立起新舊知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，闡明數(shù)學(xué)事實(shí)#65380;概念和原理之間的邏輯關(guān)系，從而使其將所學(xué)的知識(shí)系統(tǒng)化，促進(jìn)自我認(rèn)知結(jié)構(gòu)的發(fā)展和完善.

對于每一位數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)者與工作者來說，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)證明有一個(gè)逐步完善的過程，能夠體會(huì)數(shù)學(xué)證明是一個(gè)錯(cuò)綜復(fù)雜的活動(dòng)，不但包含邏輯關(guān)系與公理系統(tǒng)，也包含人的知識(shí)范圍#65380;理解能力等.

【參考文獻(xiàn)】

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[3]熊惠民，虞莉娟.從數(shù)學(xué)證明的二重性看其教育價(jià)值[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2007，16(1): 17-20.

[4]王林全，數(shù)學(xué)證明教學(xué)觀念的現(xiàn)代發(fā)展[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，1998，7(1):94-97.

注:“本文中所涉及到的圖表#65380;注解#65380;公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文#65377;”