對集合教學的幾點思考

【摘要】 本文從集合的語言美#65380;集合的形式美#65380;集合元素的互異性和集合語言的轉譯等四個方面談了對集合教學的思考.

【關鍵詞】 集合 語言美 形式美 互譯性 轉譯

集合概念是數學中的基本概念，要求學生有較強的抽象思維能力，現結合筆者對集合的教學體會，談談自己的理解.

1. 集合的語言美

集合是一種數學語言，具有一種獨特的語言美.

1.1集合表達的多樣性

集合的常見表示法有描述法#65380;列舉法#65380;(文氏)圖示法#65380;區間法等，同一個集合的不同表達形式是等價類，反映了數學世界的多樣性，如奇數集合的表達就有多種:{奇數}#65380;{1，3，5，…}#65380;{x|x = 2n - 1，n∈Z}#65380;{x|x = 2n + 1，n ∈ Z}#65380;{x|x = 4k±1，k ∈Z}等.

1.2集合的概括性

如集合A={x|(x - a)(x - b) < 0，a，b∈R}(或A={x|min(a，b) < x < max(a，b)}，它包含3層意思:當a < b時，a < x < b;當a > b時，b < x < a;當a = b時，A= ?準. 集合的概括性可見一斑，實踐也表明，許多同學是不太“欣賞”集合概括性的，因為它抽象，這給我們的學習帶來了麻煩.

1.3集合的兼容性

(a，b)既表示集合A = {x|a < x < b}(常稱開區間)，又表示有序實數對，還可表示直角坐標平面上的點，這表明集合語言與其他數學符號語言是相互兼容的.

1.4集合的邏輯性

集合元素具有確定性#65380;互異性#65380;無序性，這注定了集合是一套嚴密的邏輯系統，有時我們可以利用這種邏輯性快速確定集合的所有元素.

例1 已知集合A = {1，a，b}，集合B = {a，a2，ab}，若A = B，求實數a，b的值.

分析 若集合A = B，則必有:①元素之和相等;②元素之積相等;③元素的個數相等.

解 ∵ A = B，

∴1ab = aa2ab，1 + a + b = a + a2 + ab，

即ab(a - 1)(a2 + a + 1) = 0，(a -1)(1 + a + b) = 0.

由a≠1，a≠0(元素互異性)及a2 + a + a + 1 > 0知b = 0，a = -1.

2. 集合的形式美

集合在形式上#65380;結構上也很完美.

2.1集合的封閉性

會有這樣一種現象，集合中任意兩個元素進行和#65380;差#65380;積#65380;商(除數不為零)運算，所得結果始終在這個集合之中，好像永遠跳不出這個“圈子”，我們就稱這個集合是封閉集.例如:實數集R，有理數集Q，集合A={x|x=m+ ，m，n∈Z}等. 再例如，高二數學“不等式”一章課本上有一個重要習題:已知|a| < 1，|b| < 1，求證:< 1(證明略)，我們可以這樣理解:記A = {x|-1 < x < 1}，定義新運算?茚滿足:a?茚b =那么a，b∈A?圯a?茚b∈A，即滿足A對運算?茚是封閉的，進一步的例子可以參考后面的例3. 設想再大膽一點，封閉集的所有元素應該可以由少數幾個元素繁殖出來，這即是有限與無限#65380;整體與部分的辯證.

2.2集合意義的理解

集合的意義是初學者的一個難點，關鍵是要抓“代表元”這個“語法”特征.

例2 已知集合A = {y| y = x2 - 2x}，B = {y|y = x2 + 6x + 8}，求A∩B.

誤解1 令x2 - 2x =x2 + 6x + 8，∴ x = -1，y = 3， ∴A∩B = {3}.

誤解2 令x2 - 2x =x2 + 6x + 8，∴ x = -1，y = 3， ∴A∩B = {(-1，3)}.

正解 A={y| y = x2 - 2x} = {y|y = (x - 1)2 - 1} = {y| y ≥ -1}.

B = {y|y = x2 + 6x + 8} = {y|y = (x + 3)2 - 1} = {y| y ≥ -1}，則A∩B = {y|y ≥ -1}.

注 這里集合表示函數的值域，初學集合者比較茫然，學了函數，則會豁然開朗. 這告訴我們，學習是一個循序漸進的過程，切莫操之過急.

3. 集合元素的互異性

經驗告訴我們，集合中元素的互異性常常被學生在解題中忽略，以致造成解題的錯誤，這需要結合例題的講解逐步強化學生的認識.

例3 若A={2，4，a3 - 2a2 - a + 7}，B={1，a + 1，a2 -2a + 2，- (a2 - 3a - 8)，a3 + a2 + 3a + 7}且A∩B={2，5}，試求實數a的值.

解 ∵ A∩B={2，5}，∴ a3 - 2a2 - a + 7 = 5，

由此求得a = 2 或a = ±1.

至此，不少學生認為大功告成，事實上，這只能保證A = {2，4，5}，集合B中的元素是什么，它是否滿足元素的互異性，有待于進一步考查.

當a = 1時，a2 - 2a + 2 = 1， 與元素的互異性相違背，故應舍去a = 1.

當a = -1時，B = {{1，0，5，2，4}，與A∩B = {2，5}相矛盾，故應舍去a = -1.

當a = 2時，A = {{2，4，5}，B = {{1，3，2，5，25}，此時，A∩B = {2，5}滿足題設.

故a = 2為所求.

通過例題的講解應使學生認識到:解決集合相等的問題易產生與互異性相矛盾的增解，這需要解題后的反思和檢驗.

4. 集合語言的轉譯

集合問題是用符號語言表達的，因而它具有一定的抽象性，在教學中我們要引導學生深刻理解集合的符號語言，并能準確地把它轉譯為相關的非集合問題，用我們熟知的知識與方法進行解題.

例4 設a#8226;b∈R，A={(x#8226;y)|x = n，y = na + b，n∈Z}，B = {(x，y)|x = m，y = 3(m2 + 5)，m∈Z}.C={(x，y)|x2 + y2 ≤ 144}是平面xoy內的點集，問:是否存在實數a和b使得:①A∩B ≠ ?準，②(a，b)∈C同時成立?

解決此題的關鍵是集合語言向非集合數學問題的轉化.

A∩B≠ ?準 ?圯 n = m，na + b = 3m2 = 15成立，

即na + b = 3n2 + 15.(1)

又(a，b)∈C?圯a2 + b2 ≤ 144.(2)

若滿足(1)和(2)的a，b存在，則關于a，b的方程組na + b =3(n2 + 5)，a2 + b ≤ 144 有解，從而在直角坐標系ao′b中，直線l:na + b - 3(n2 + 5) = 0與圓盤a2 + b2 ≤ 144應有公共點.

于是圓心O′(0，0)到直線l的距離不大于半徑12， 即 n2 = 3而n∈Z，這是不可能的. 故滿足(1)，(2)的a，b不存在.

抓住集合語言向非集合問題的轉化，是打開解題大門的鑰匙.

【參考文獻】

[1] 黃順貴，馬曉紅.領悟集合語言的魅力[J].高中數理化(高一).2007(9).

[2] 許翠.高中數學集合教學淺論[J].青海教育.2004(9).

[3] 陳巧靈.集合教學中應注意的問題[J].宜賓師范高等專科學校學報.2001(2).

注:“本文中所涉及到的圖表#65380;注解#65380;公式等內容請以PDF格式閱讀原文#65377;”