巧妙設計例題，爭取課堂效益最大化

在平時的課堂教學中，我們要根據學生的認知水平和新課程的教學要求將數學課堂中的例題進行巧妙的設計，如何設計才能在課堂教學中取得最大成效呢?下面談一談我在數學教學中如何精心設計例題的一些做法與體會.

一#65380;以學生思維的遞進性為著眼點，巧妙設計例題

案例1 f(x)是定義在R上的奇函數，且滿足以下條件:(1)對任意的實數x，y，都有f(x + y) = f(x) + f(y)，(2)當x < 0時，f(x) > 0，且f(-1) = 1. 求f(x)在區間[-3，4]上的最大值和最小值.

該案例有如下不足:

1. 條件多余

條件(1)可以推出f(x)是奇函數，這本身就是極好的抽象函數奇偶性的證明題.

2. 例題缺乏層次性，起點太高

求f(x)在區間[-3，4]上的最大值和最小值，這需要做很多輔助性的判斷#65380;證明和計算.

建議將案例1改為: f(x)是定義在R上的函數，且滿足以下條件:(1)對任意的實數x，y，都有f(x + y) = f(x) + f(y)，(2) 當x < 0時，f(x) > 0，且f(-1) = 1.

① 求f(0)的值.

② 證明f(x)是在R上為奇函數.

③ 證明f(x)是R上的減函數.

④ 求f(x)在區間[-3，4]上的最大值和最小值.

如此設計，引導學生經歷解抽象函數問題的一般步驟，合乎學生的認知特點和循序漸進的教學原則，使學生的思維能力層層遞進，不斷體會成功的喜悅.

二#65380;以歸類概括性為著眼點，巧妙設計例題

案例2 △ABC的兩個頂點A，B的坐標分別是(0，-a)，(0，a)，(a > 0)，邊AC，BC所在直線的斜率之積等于k(k≠0)，求頂點C的軌跡.

可以求出軌跡方程為:y2 - kx2 = a2(x ≠ 0).

學生可以對k的取值的四種情況進行討論，得出相應的軌跡為圓#65380;橢圓#65380;雙曲線等. 以上設計不僅有效地培養了學生的歸類概括能力，也較深刻地揭示了習題的本質，通過對k的討論，既體現了分類討論思想，又有效地培養了學生的思維品質.

三#65380;以一題多變為著眼點，巧妙設計例題

案例3 點P在橢圓x2 + 4y2 = 4上運動，求定點A(0，2)到點P的距離|AP|的最大值.

建議變化條件#65380;結論，可得出以下幾種變題:

變題1:將求|AP|的最大值改為最小值.

變題2:將橢圓改為雙曲線x2 - y2 = 1，結論改為求 |AP|的最小值.

變題3:將橢圓改為拋物線y2 = 2x，結論改為求|AP|的最小值.

變題4:點P在橢圓x2 + 4y2 = 4上運動，定點A(0，a)(a > 0)，求|AP|的最大值.

變題5:點P在橢圓x2 + 4y2 = 4上運動，點Q在圓 x2 + y2 - 4y + 3 = 0上運動，求|QP|的最大值.

以上設計訓練了學生思維的遞進性，由條件和結論的換位，訓練了學生思維的變通性和廣闊性，有效地提高了學生的解題能力.

四#65380;以一題多解#65380;優化思路為著眼點，巧妙設計例題

案例4 從圓(x - 1)2 + (y - 1)2 = 1外一點P(2，3)，向該圓引切線PA，PB，切點為A，B，求直線AB的方程. 分析 (由切線求切點)根據圓心(1，1)到切線的距離等于半徑，得切線方程x = 2或3x - 4y + 6 = 0.再將切線方程與圓方程聯立求得切點為A(2，1)，B ， (如圖).

再由兩點式求得直線AB的方程為:x + 2y - 4 = 0. 首先，肯定此法合乎學生的思維特點，是一種基本方法，但運算量較大.

按照以下思路層層遞進，就能使學生的思維能力進一步深化，達到一個較高層次，充分體現該例題的設計價值功能.

改進1:(兩圓相交求切點)如圖，設已知圓的圓心為C，根據平面幾何性質知，切點是以PC為直徑的圓與圓C的交點.以PC為直徑的圓方程為(x - 1)(x - 2) + (y - 1)(y - 3) = 0.

聯立(x - 1)(x - 2) + (y - 1)(y - 3) = 0，(1)

(x - 1)2 + (y - 1)2 = 1. (2)

(1) - (2)，得 x + 2y - 4 = 0.(3)

將(3)代入(2)得切點坐標為A(2，1)，B ， .由兩點式得過切點A，B的直線方程為:x + 2y - 4 = 0.

此法運用平面幾何性質，減少了運算層次，簡化了解題過程.

改進2:(設而不求法)切點是以PC為直徑的圓與圓C的交點，設切點坐標為(x，y)，則切點坐標滿足方程(1)#65380;(2)，因而必滿足(1)-(2)所得的方程(3)，故方程(3)即為過切點A，B的直線方程.

這種“設而不求”的思想，是解析幾何的重要技巧. 說明求過點A，B的直線方程，只要獲得A，B兩點坐標滿足的直線方程即可.

改進3:(逆向思維)把P點視為兩條切線的交點. 設切點A(x1，y1)，B(x2，y2)，切線PA的方程為:

(x - 1)(x1 - 1) + (y - 1)(y1 - 1) = 1，PA經過P點，

∴(x - 1)(2 - 1) + (y - 1)(3 - 1) = 1，

化簡，得x1 + 2y1 - 4 = 0， (1)

同樣，由切線PB過P點可得

x2 + 2y2 - 4 = 0.(2)

由(1)#65380;(2)知A，B兩點坐標滿足方程x + 2y - 4 = 0，此即過切點A，B的直線方程.

學生在一題多解#65380;優化思路的過程中，才能激發思維靈感，才能提高數學思維能力.

總之，例題教學是數學課堂的重要組成部分，要提高數學教學質量，必須提高例題教學的效益，而提高例題教學的效益關鍵在于例題的設計水平，這就要求我們要精心設計例題，最大限度地提高課堂教學的質量.

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。”