投入產(chǎn)出中的線性模型例析

投入產(chǎn)出分析是本世紀(jì)３０年代由美國(guó)經(jīng)濟(jì)學(xué)家列昂節(jié)夫首先提出的，它研究的是經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)各部門(mén)之間“投入”與“產(chǎn)出”關(guān)系的線性模型，一般稱之為投入產(chǎn)出模型. 投入產(chǎn)出模型可應(yīng)用于微觀經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)，也可用于宏觀經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的綜合平衡分析，目前這種分析方法已在全世界９０多個(gè)國(guó)家和地區(qū)得到了普遍的推廣和應(yīng)用. 下面是投入產(chǎn)出數(shù)學(xué)模型中一個(gè)小的經(jīng)濟(jì)問(wèn)題的提出及解決.

現(xiàn)有一個(gè)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)包括４個(gè)部門(mén)，在某一個(gè)生產(chǎn)周期各部門(mén)的消耗系數(shù)及最終產(chǎn)品如下：

求各部門(mén)的總產(chǎn)品及部門(mén)間的流量.

消耗系數(shù)是指第ｊ部門(mén)生產(chǎn)單位產(chǎn)品直接消耗第ｉ部門(mén)的產(chǎn)品，稱為第ｊ部門(mén)對(duì)第ｉ部門(mén)的直接消耗系數(shù)：

ａij ＝（ｉ，ｊ ＝ １，２，… ，ｎ）.

解 設(shè)ｘi （ｉ ＝ １，２，３，４）表示第ｉ部門(mén)的總產(chǎn)品，

則矩陣Ａ ＝ （ａij） ＝ 0.250.150.1 0.10.250.20.1 0.20.20.10.25 0.10.10.10.2 0.25

ｙ ＝ （２３５，８０，２７５，３００）T .

可求得Ｉ － Ａ ＝0.75 -0.15-0.1 -0.1-0.250.8-0.1 -0.2-0.2-0.10.75 -0.1-0.1-0.1-0.2 0.75

（Ｉ － Ａ） -1 ＝ 1.580.390.36 0.360.681.50.44 0.550.580.351.55 0.370.460.350.52 1.55

X = X1X2X3X4= （Ｉ － Ａ）-1y =

1.580.390.36 0.360.681.50.44 0.550.580.351.55 0.370.460.350.52 1.55 23580275300= 609.5565.8701.55744.1

由此可得X1 ＝ ６０９．５，X2 ＝ ５６５．８，X3 ＝ ７０１．５５，X4＝ ７４４．１ .

由Xij ＝ aijXi （ｉ，ｊ ＝ １，２，…，ｎ）計(jì)算出部門(mén)間流量：

X11 ＝ １５２．４，X12 ＝ ９１．４ ，X13 ＝ ６０．９５， X14 ＝ ６０．９５；X21＝１４１．４５，X22＝１１３．１６，X23＝５６．５８，X24＝１１３．１６；

X31＝１４０．３１，X32＝７０．１５，X33＝１２５．３９，X34 ＝７０．１５５；

X41＝７４．４１， X42＝７４．４１，X43＝１４８．８２，X44 ＝１８６.

在此的投入產(chǎn)出表是按價(jià)值形式編制的，故本文中提到的“產(chǎn)品量”、“單位產(chǎn)品”、“總產(chǎn)品”、“最終產(chǎn)品”等分別指“產(chǎn)品的價(jià)值”、“單位產(chǎn)品的價(jià)值”、“總產(chǎn)值”、“最終產(chǎn)品的價(jià)值”等.

【參考文獻(xiàn)】

［１］ 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)教研室編.線性代數(shù).北京：高等教育出版社，１９９１（８）.

［２］ 金朝嵩，符名培編箸.線性代數(shù).重慶：重慶大學(xué)出版社，２００１（８）.

［３］ 趙樹(shù)主編.經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，線性代數(shù).北京：中國(guó)人民大學(xué)出版社，１９９８（３）.

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文。”