凡大于４之偶數必為二奇素數之和

符號說明:N表示大于3的任一自然數;Pi表示第i個素數;ri表N對Pi的余數;mi表N對Pi的補數;mi = P - riN + mi是Pi的整數倍;[a]表a的整數;{a}表a的小數; ak = a1，a2，…，an的乘積;ak = a1 + a2 + … + an.

為了證明這個問題，我們設想凡大于3的任一自然數N都有這樣一個數Q存在，使N + Q和N - Q都是素數，稱Q為N的等余數，這樣凡大于4之偶數必為二奇素數之和得證(其中6 = 3 + 3):

∵ N + Q = Pk，

N - Q = Pg，

∴ 2N = Pk + Pg.

一#65380;等余數的求法

等余數的最簡求法是在1到N的自然數列中，去掉ri + βPi，mi + βPi和N - 1(1 ≤ i ≤ ai，Pα≤

剩下的數就是N的等余數Q，Q = ri′ + n′ Pi(n′≤n)，

N + Q = ri + nPi + ri′ + n′ Pi = ri + ri′ + (n + n′)Pi = Pk

Pk是素數.

∵ ri+ ri′≠ Pi(ri′ ≠ mi)，∴ Pk是素數.

N - Q = ri + nPi - (ri′ + n′Pi) =

ri - ri′ + (n - n′)Pi = Pg

∵ri - ri′ ≠ 0(ri ≠ ri′)，∴ Pg是素數.

二#65380;等余數存在的證明

用f(NQ)表N的等余數Q在N之內的個數.

f(NQ) = N - + I1- 2 + Ii+

2 +I + 22 +Iij - … -1*(*這個1表減去N - 1的).

因為r1 = m1，去掉r1 + βP1和m1 + βP1實際上去掉的是同一個數列，去掉的數的個數是 + I1個，當ri = 0時，I1 = 0，當r1 ≠ 0，I1 = 1.

ri ≠ mi，去掉ri + βPi和mi + βP1的數的個數是2 + Ii個.當rj = 0時，Ii = 0;當ri < mi時，Ii = 1;當ri > mi時，Ii = 2.

ri ≠ mi，rj ≠ mj;它們之間的組合數有四個:rij，mij，rimj，rjmi，所以加上去的數的個數是22+ Iij個，當rij = 0時，Iij = 0;當rij < mij，mirj，rimj時Iij = 1;當rij < mij，mirj(或mjri)時Iij = 2;當rij > mij，mirj(或mjri)時Iij = 3;當rij > mij，mirj，rimj時Iij = 4.

……

f(NQ) = N - -+ I1-- +Ii+- +Ii1+- +Iij-…-1.

f(NQ) = N -- + ++……+ -I1+-I1-+Ii1--Iij+……-1.

f(NQ) = N 1- 1-+ f- I-1.

f(NQ)=N 1 -1 - + N 1 -#8226;1 - + f- I - 1.

∵f(NQ)=N 1 -1 - - 1.N 1 -1 - + f- I ≥ 0，

當N>41時，N 1- 1- -1 > 1，

則N的等余數存在無疑.(4-41的等余數詳見附表)

*f- I=- I1+ - Ii- + Ii1- - Iij + …

綜上所述，凡大于4之偶數必為二奇素數之和.

附表:

4~41的等余數

注:“本文中所涉及到的圖表#65380;注解#65380;公式等內容請以PDF格式閱讀原文#65377;”