非特殊四邊形中點(diǎn)問(wèn)題探究

四邊形的有關(guān)知識(shí)在中學(xué)教材中具有重要的地位，教材中主要研究了特殊四邊形(平行四邊形#65380;矩形#65380;菱形#65380;正方形和等腰梯形等)的特殊性質(zhì)，其實(shí)，非特殊四邊形(一般四邊形)也有很多特殊的性質(zhì)，本文將就中學(xué)教學(xué)中出現(xiàn)的一般四邊形中點(diǎn)問(wèn)題進(jìn)行探究.

一#65380;順次連接一般四邊形的各邊中點(diǎn)所得四邊形(中點(diǎn)四邊形)的形狀與原四邊形對(duì)角線的關(guān)系

(1) 如圖1，順次連接四邊形ABCD各邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，得四邊形EFGH是平行四邊形.

證明 連接對(duì)角線AC.

∵ E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)，

∴ EF是 △ABC的中位線，

∴ EF AC;

同理可得HGAC;

∴ EF HG;

∴四邊形EFGH是平行四邊形.

(2)如圖2，在問(wèn)題(1)中，如果四邊形ABCD的對(duì)角線AC，BD滿足AC⊥BD時(shí)，四邊形EFGH會(huì)是什么四邊形呢?

探究:同(1)可證:EF∥AC，

∴ ∠1 = ∠2 = 90°.

同(1)可證:FG∥BD，

∴ ∠2 = ∠3 = 90°.

∵四邊形EFGH是平行四邊形，

∴四邊形EFGH是矩形.

(3) 當(dāng)對(duì)角線AC，BD滿足AC=BD時(shí)，易證四邊形EFGH是菱形.

(4) 當(dāng)對(duì)角線AC，BD滿足AC⊥BD且AC=BD時(shí)，易證四邊形EFGH是正方形.

從上述(1)，(2)探究中，反應(yīng)了從一般到特殊的數(shù)學(xué)認(rèn)知方法;(3)和(4)的證明請(qǐng)讀者自己完成.

二#65380;中點(diǎn)四邊形的面積與原四邊形面積的關(guān)系

(5) 如圖3，順次連接四邊形ABCD各邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，得四邊形EFGH的面積S1與原四邊形的面積S有什么關(guān)系呢?

探究:由前面(1)的探究我們已經(jīng)知道EF∥AC，∴ △BEF∽△BAC，

∴ =2 =2 =，即S△BEF =S△BAC.

同理:S△DHG =S△DAC.

∴ S△BEF + S△DHG=S△BAC +S△DAC =(S△BAC + S△DAC) =S.同理可證:S△AEH + S△CFG =S.

∴ S1= S-(S△BEF + S△DHG + S△AEH + S△CFG) = S- S +S= S.

上面我們研究了中點(diǎn)四邊形的面積與原四邊形面積的關(guān)系，同時(shí)討論了四邊形對(duì)邊中點(diǎn)連線分原四邊形得四個(gè)“小四邊形”之間的面積關(guān)系. 其實(shí)中點(diǎn)四邊形的周長(zhǎng)與原四邊形的對(duì)角線也有特殊的關(guān)系:C中點(diǎn)四邊形 = 原四邊形對(duì)角線之和;其證明方法比較簡(jiǎn)單，請(qǐng)讀者去完成證明.

三#65380;一般四邊形的面積等分

(5) 如圖4，請(qǐng)你用一條折線將四邊形的面積等分.

探究:根據(jù)三角形的中線將三角形面積等分的性質(zhì)，我們可以像圖5那樣連接對(duì)角線AC，將四邊形分割成兩個(gè)三角形，然后取AC的中點(diǎn)E，連接DE#65380;BE，移得折線BED為一條四邊形ABCD的面積等分線.

(6)在(5)中，如果要求四邊形ABCD的面積等分線是直線段，那我們又該怎樣畫(huà)等分線呢?

探究:在圖5中，我們已經(jīng)知道四邊形ABED的面積等于凹四邊形BEDC的面積，要使四邊形ABCD的面積等分線是直線段，我們可以考慮這樣的一條直線段，它能從四邊形ABED中劃出一部分面積給凹四邊形BEDC，同時(shí)它又能從凹四邊形BEDC中劃出相等面積給四邊形ABCD，這樣進(jìn)行“等積交換”來(lái)達(dá)到目的，這等積交換的兩部分面積就是圖6中的△DOF和△BOE的面積，圖中的線段BF正是所需的一條直線段的面積等分線. 具體畫(huà)法如下:

1. 連接對(duì)角線AC，取AC的中點(diǎn)E;

2. 連接DE，BE，BD;

3. 過(guò)E點(diǎn)作EF∥BD交DC于F;

4. 連接BF交DE于O點(diǎn);

5. 線段BF為所作的四邊形ABCD的面積等分線(直線段). 證明 如圖6，∵ EF∥BD，BE不平行DF，

∴ 四邊形BDFE是梯形，

∴ △DEF和△BEF同底等高，

∴ S△DEF = S△BEF，

∴ S△DEF - S△OEF = S△BEF- S△OEF，

即 S△BOE= S△DOF .

由(5)知道S四邊形ABED = S凹四邊形BEDC，

∴ S四邊形ABFD = S△BFC，

即 BF是滿足問(wèn)題中的四邊形ABCD的面積等分線.

四#65380;一般四邊形拼折成特殊四邊形問(wèn)題

如圖7，怎樣將一般四邊形ABCD剪拼成一個(gè)矩形?請(qǐng)你畫(huà)出分割線加以說(shuō)明. 探究:如圖8，取各邊中點(diǎn)E，G，F(xiàn)，H，連接EF，過(guò)H點(diǎn)作HN⊥EF，過(guò)G點(diǎn)作GM⊥EF;將四邊形ABCD分成a，b，c，d四個(gè)四邊形，可拼接成圖11中的矩形. 根據(jù)圖8和圖9中的角的編號(hào)及各頂點(diǎn)字母，讀者可以自行驗(yàn)證其正確性.

總之，一般四邊形在我們?nèi)∑涓鬟呏悬c(diǎn)后，它就具備了許多特殊的性質(zhì). 我們對(duì)這些特殊的性質(zhì)進(jìn)行探究下去就容易與特殊四邊形緊密聯(lián)系起來(lái)，并能解決許多問(wèn)題.

注:“本文中所涉及到的圖表#65380;注解#65380;公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文#65377;”