直角三角形結合勾股定理在高中三角函數中的應用

一#65380;在求解三角函數值中的應用

在三角恒等變形中，經常會遇到“已知α角的一個三角函數值，求α角的其他三角函數值”. 如果到了復習階段，仍然使用同角公式進行計算，就會使三角解答題的計算過程變得冗長，帶來諸多不便，如果條件允許，就可以利用直角三角形結合勾股定理快速簡潔求解.

例1 已知sin α =，90° < α < 180°，求cos α.

解 第一步，“一畫”. 用已知條件所給的比 畫出相應的直角三角形，即 α角的對邊為3k(k > 0)，斜邊為5k.

第二步，“二用”. 用勾股定理求出直角三角形的第三條邊的長AC = 4k. 我們也可以利用能夠記住的勾股數:3，4，5;6，8，10;5，12，13;7，24，25;9，40，41;8，15，17(這是六組經常用的勾股數)直接求出第三條邊的長. 第三步，“四定”. 根據90° < α < 180°，決定cos α的符號，因為90° < α < 180°時cos α < 0，所以cos α = - .

也就說，我們可以不必使用同角基本關系式，直接按照上述所提供的步驟，求出cos α 的值. 總結為:“一畫，二用，三求，四定”. 再如:

例2 已知tan α = - ，且α是第四象限的角，求sin α.

解 一畫，用已知條件所給的比的絕對值 畫出相應的直角三角形(如圖2).

為方便起見，我們可以直接令BC = 2，AC = 3(k=1)二用，用勾股定理求出斜邊AB = ，三求，求出sin α的絕對值.

即|sin α| = =.

四定，因為α是第四象限角，

所以sin α = - .

例3 已知cos α = -， α是第三象限的角，求tan α.

解cos α = - ，α是第三象限的角，

∴tan α =.

也就是說，我們熟悉了這個辦法之后，過程可以簡化，“一畫，二用，三求，四定”這個過程就可以簡化成例3所提供的過程. 為了熟練這個方法，我們用下面這幾個題目練習一下這個方法.

練一練:

1. 已知cos α = - ，180°< α < 270°，求sin α .

2. 已知sin α = - ，270°< α < 360°，求cos α.

3. 已知cos α = - ，α ∈∏，求sin α ，tan α .

4. 已知tan α = - ，α ∈Ⅳ，求sin α，cos α.

二#65380;有些公式也可以利用直角三角形及勾股定理幫助記憶

比如在直角三角形中，角α的對邊是sin α，鄰邊是cos α，斜邊是1，如圖3.

記憶同角公式:

tan α = =.

利用勾股定理記憶:

sin2 α + cos2 α = 1.

如果把角α的鄰邊延長和斜邊一樣長，得到一個大的直角三角形，其中有個銳角是 ，其對邊是sin α，鄰邊是1 + cos α(如圖4). 則我們會得到一個半角的正切公式，即 tan=.

同樣利用圖形記憶萬能公式，如圖5，直角三角形中的銳角2α的對邊是2tanα，鄰邊是1 - tan2 α，利用勾股定理知斜邊是1 + tan2 α.

于是我們得到另外一組公式，基本通常所說的萬能公式:

sin2α =，cos2α =，

tan2α .

注:“本文中所涉及到的圖表#65380;注解#65380;公式等內容請以PDF格式閱讀原文#65377;”