聚焦２００８高考中的不等式恒成立問題

近幾年來，不等式恒成立問題成為了高三復習迎考訓練與高考的一個熱點，它涉及一次函數#65380;二次函數#65380;指數函數#65380;對數函數#65380;圓錐曲線的性質#65380;圖像，滲透著分類討論#65380;化歸與轉化#65380;數形結合#65380;函數與方程等數學思想與方法，能充分考查學生的綜合解題能力，在培養思維的靈活性#65380;創造性等方面起到了積極的作用，因此備受命題者青睞. 僅從2008年高考來看，全國卷(Ⅱ)和包括上海#65380;天津#65380;福建#65380;湖南在內的很多自主命題試卷中都有不等式恒成立問題. 但在處理這類問題時，許多同學總是感到不知如何下手.

容易證明如下兩個結論:

結論1m ≥ f(x)在x∈D上恒成立 ?圳 m ≥ [f(x)]max . 結論2 m ≤ f(x)在x∈D上恒成立 ?圳 m ≤ [f(x)]min .如何在區間D上求函數f(x)的最大值或者最小值問題，我們可以通過習題的實際，采取合理有效的方法進行求解，通常可以考慮利用函數的單調性#65380;函數的圖像#65380;二次函數的配方法#65380;三角函數的有界性#65380;均值定理#65380;函數求導等方法求函數f(x)的最值. 應用這兩個結論處理不等式恒成立問題很方便，現舉例說明.

一#65380;運用結論1

例1 (2008年高考上海數學理科試卷第19題)已知函數f(x) = 2x -.

(Ⅰ) 若f(x) = 2，求x的值;

(Ⅱ) 若2t f(2t) + m f(t) ≥ 0對于t∈[1，2]恒成立，求實數m的取值范圍.

分析 2t f(2t) + m f(t) ≥ 0對于t∈[1，2]恒成立?圳 m ≥ [-(22t + 1)]max問題轉化為求 [-(22t + 1)]的最大值. 若求出 [-(22t + 1)]，t∈[1，2]的最大值，則問題迎刃而解.

解 (Ⅰ)略.

(Ⅱ)當t∈[1，2]時，2t22t -+ m2t -≥ 0，即m(22t - 1) ≥ -(24t - 1).

∵ 22t - 1 > 0，∴ m ≥ -(22t + 1).

∵ t∈[1，2]，∴-(22t + 1)∈[-17，-5].

故m的取值范圍是[-5，+∞].

例2 (2008年高考安徽數學理科試卷第20題)設函數f(x) = (x > 0且x ≠ 1).

(Ⅰ)求函數f(x)的單調區間;

(Ⅱ)已知2> xa對任意x∈(0，1)成立，求實數 a的取值范圍.

解 (Ⅰ)略.

(Ⅱ)在2> xa兩邊取對數，得 ln 2 > aln x.

由于0 < x < 1，所以>. (1)

由(1)的結果可知，當x∈(0，1)時，f(x) ≤ f = -e.

為使(1)式對所有x∈(0，1)成立，當且僅當 > -e，即a > -eln 2.

二#65380;運用結論2

例3 (2008年高考福建數學理科試卷第22題)已知函數 f(x) = ln(1 + x) - x.

(Ⅰ)求f(x)的單調區間;

(Ⅱ)記f(x)在區間[0，n](n∈N*)上的最小值為bn，令an = ln(1 + n)-bn，

① 如果對一切n，不等式 < - 恒成立，求實數c的取值范圍;

② 求證:+ + … + < - 1.分析< -恒成立?圳c ( - )min問題轉化為求 ( - )的最小值. 若求出 ( - )的最小值，則問題迎刃而解.

解 (I)#65380;(Ⅱ)②略

(II) ① 因為f(x)在[0，n]上是減函數，所以bn = f(n) = ln(1 + n) - n，則an = ln(1 + n) - bn = ln(1 + n) - ln(1 + n) + n = n.

①( - ) =

( - )=

>

= 1.

又( - ) =

= 1.

因此c ≤ 1，即實數c的取值范圍是(-∞，1].

例4 (2008年高考天津數學理科試卷第20題) 已知函數f(x) = x + + b(x≠0)，其中a，b∈R.

(Ⅰ)若曲線y = f(x)在點P(2，f(2))處的切線方程為y = 3x + 1，求函數f(x)的解析式;

(Ⅱ)討論函數f(x)的單調性;

(Ⅲ)若對于任意的a∈ ，2，不等式f(x) ≤ 10在 ，1上恒成立，求b的取值范圍.

解 (Ⅰ)#65380;(Ⅱ)略.

(Ⅲ)由(Ⅱ)知，f(x)在 ，1上的最大值為f 與f(1)的較大者，對于任意的a∈ ，2，不等式f(x) ≤ 10在 ，1上恒成立，當且僅當f≤ 10，f(1) ≤ 10.

即b ≤ - 4a，b ≤ 9 - a，對任意的a∈ ，2成立.

從而得b ≤，所以滿足條件的b的取值范圍是-∞，.

例5 (2008年高考湖南數學理科試卷第21題)已知函數f(x) = ln2(1 + x) -.

(I) 求函數f(x)的單調區間;

(Ⅱ)若不等式1 +n + a ≤ e對任意的n∈N*都成立(其中e是自然對數的底數).

求a的最大值.

解 (Ⅰ)略.

(Ⅱ)不等式1 +n + a ≤ e ?圳 (n + a)ln1 + ≤1.

由1 +>1，知a≤- n.

設G(x)=-，x∈(0，1]，則

G′(x)= -+=

.

由(Ⅰ)知，ln2(1 + x) -≤0，

即(1 + x)ln2(1 + x) - x2 ≤ 0.

所以G′(x)<0，x∈(0，1]，于是G(x)在(0，1]上為減函數.

故函數G(x)在(0，1]上的最小值為G(1)=- 1.

所以a的最大值為- 1.

通過上述2008年高考的五個試題，我們知道若在不等式中出現兩個變量，其中一個變量的范圍已知，另一個變量的范圍為所求，且容易通過恒等變形將兩個變量分別置于不等號的兩邊，則可將恒成立問題轉化成函數的最值問題求解. 用最值法解不等式恒成立問題，這類問題在數學學習方面涉及的知識比較廣泛，在處理上也有許多特殊性，也是近年來高考中頻頻出現的試題類型，希望同學們在日常學習中注意積累.

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。”